Метод конечных разностей для решения уравнений динамики приливов Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова механико-математический факультет доклад Друцы А.В.

Актуальность задачи Решение уравнений динамики мелкой воды позволяет моделировать динамику длинных волн (~10 км) на поверхности океана. Решение данной задачи актуально и используется при моделировании течений прогнозе погоды оценки возникновения цунами расчёта влияния приливных волн экология: распространения вредных примесей разработке нефти на шельфе Кроме этого задача является частью математической модели динамики океана. моделирование краевых условий на поверхности океана

Постановка задачи Линеаризованная система динамики мелкой воды: Обозначения: u=(u,v) – вектор скорости. ζ – высота волны.

Граничные условия

Что было сделано до… Неструктурированная сетка Сохранение баланса на ячейке в сеточном случае Использовался метод конечных элементов с неконформными элементами Равьяра-Тома.

Сетка на области Xk1Xk1 Xk2Xk2 Xk3Xk3 OkOk Ok3Ok3 Ok1Ok1 Ok2Ok2

Аппроксимация градиента Xk1Xk1 Xk2Xk2 Xk3Xk3 OkOk Ok3Ok3 Ok1Ok1 Ok2Ok2 S Ok lk1lk1 х j – j-ый единичный орт декартовой системы координат. n k α – внешняя нормаль к треугольнику O k к стороне с серединой X k α.

Аппроксимация дивергенции XmXm XjXj XiXi O Λ(i,2) O Λ(i,1) SiSi lili

Корректность аппроксимации В этом скалярном произведении определённые выше сеточные операторы градиента и дивергенции сопряжены, т.е. доказано следующее соотношение: Введём скалярные произведения:

Формула Гаусса- Остроградского Также верен сеточный аналог формулы Гаусса-Остроградского: - треугольник с центром O k

Разностное уравнение Аппроксимация по неявной схеме, с шагом по времени τ.

Сеточная задача После исключения из первых двух уравнений скоростей и подстановке в третье уравнение получается система: (1) XiXi X j1 X j3 X j2 X j4

Сходимость метода

Алгоритм решения задачи на шаге по времени Алгоритм решения задачи на шаге по времени: 1.Берём начальные условия (u 0, v 0, ζ 0 ). 2.Решаем систему (1) каким-нибудь стандартным методом (например, методом би-сопряжённых градиентов) и получаем значения высоты волны на верхнем слое. 3.Найденные значения высоты волны подставляем в выражения для скорости и находим значения скоростей на верхнем слое. 4.Повторяем шаги 2 и 3, пока мы не выполним нужное количество итераций.

Равномерная сетка номер треугольника - номер потокового узла Аппроксимации

Матрица для равномерной сетки

Численный эксперимент. Данные. Начальные данные и константы.

Результаты. t=0.t=0.1t=0.2 t=0.3t=0.4t=0.5

Видео

Заключение Построена аппроксимация исходной задачи на неструктурированных сетках, сохраняющая свойства дифференциальной задачи. Доказано, что построенная разностная схема сохраняет баланс на ячейке, то есть поток жидкости через границу треугольников сохраняется. Построен итерационный алгоритм решения задачи на шаге по времени; показано, что возникающая при аппроксимации система уравнений является системой с М-матрицей. Доказана устойчивость решения по начальным данным.

Дополнение

Достоинства разностного подхода вычислительные формулы проще, чем элементы Равьяра-Тома при использовании разностной схемы автоматически выполнено условие баланса на ячейке быстросходящийся метод легче встраивать в готовые пакеты программ.