Вектор Вектор – направленный отрезок. Другими словами, вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой концом. На рисунке изображены ненулевые векторы и нулевой вектор ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1:

Длиной (модулем) ненулевого вектораназывается длина отрезка AB. Она обозначается какДлина нулевого вектораравна нулю ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3: коллинеарными Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то он является коллинеарным любому ненулевому вектору. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4: Если два ненулевых вектораи коллинеарны, а лучи AB и CD сонаправлены то векторыиназываются сонаправленными и обозначаются: Если же эти лучи не являются сонаправленными, то векторы называются противонаправленными и обозначаются: На рисунке:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5: Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6: Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7: Суммой двух векторовназывается новый вектор который обозначается и получается следующим образом: Отложим от произвольной точки A вектор, равный Теперь от точки B отложим вектор, равный и называется суммой векторов правилом треугольника Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

правилом параллелограмма Для сложения двух неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма: Для любых векторов справедливы равенства: (переместительный закон); (сочетательный закон).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8: Разностью векторов называется такой вектор сумма которого с вектором равна вектору Обозначается разность векторов так гдевектор, противоположный вектору

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9: Произведением ненулевого вектора на число k называется вектор длина которого равна причем при k > 0 векторы сонаправлены, а при k < 0 – противонаправлены. Произведением любого числа на нулевой вектор является по определению нулевой вектор. Для любых векторов и любых чисел k и l справедливы равенства: (сочетательный закон); (первый распределительный закон); (второй распределительный закон).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10: На рисунке векторы так как, если отложить от точки C вектор компланарны о все три вектора в одной плоскости. Векторы окажутся лежащими не компланарны, так как вектор не лежит в плоскости ACD. компланарными Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости. Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11: Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12: Любой вектор на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых неколлинеарных векторов Числа x, y и z называются координатами вектора в данном базисе. В этом случае пишут:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13: Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами: 1. Его длина равна: 2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора 3. Вектор направлен так, что поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки Векторное произведение обозначается квадратными скобками:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14: Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними: 1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. 2. Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины. 3. Скалярное произведение двух векторов заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле: