1. Познакомиться с историей открытия и доказательства теоремы Пифагора. 2. Рассмотреть два способа доказательства теоремы Пифагора. 3. Познакомиться с пифагоровыми треугольниками и египетским треугольником. 4. Познакомиться со способами решения задач с применением теоремы Пифагора.
А В С На чертеже изображен прямоугольный треугольник АВС ( С = 90°). 1. Как называется катет АС по отношению к А? 2. Как называется катет ВС по отношению к А? 3. Сформулируйте определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. 4. Если АВ = 12см, АС = 9 см, АВ = 6см, Найти: cos А, cos В. 12см 9см 6см
Несмотря на то, что теорема, с формулировкой и доказательством которой мы сегодня познакомимся названа именем древнегреческого ученого Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречалась за 1200 лет до Пифагора. Соотношение между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, вероятно было установлено опытным путем на основе измерений.
Пифагор, очевидно, нашел научное доказательство теоремы, за что она и была названа его именем. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А С В Н Дано: АВС – прямоугольный, С = 90°. Доказать: АВ² = АС² + ВС² Доказательство: В АВС проведем высоту СН. Выразим COSА из АВС: COSА = А С : АВ, Выразим COS А из АСН:COSА = АН : АС, тогда, АС : АВ = АН : АС, Из АВС: COS В = ВС : АВ, Из ВСН:COS В = ВН : ВС, тогда ВС : АВ = ВН : ВС, Сложим почленно (1) и (2) рав-ва: АС АС+ВС ВС =АВ АН+АВ ВН. значит АС АС = АВ АН (1) значит ВС ВС = АВ ВН (2) Получили:= АВ²АС² + ВС²= АВ(АН+ВН)= АВ АВ
1.В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С опустить высоту ВН (она разобьет данный треугольник на два других прямоугольных треугольника). 2.Выразить косинус острого угла А из треугольников АВС и АСН. 3. Приравнять значения косинусов угла А. 4. Применить основное свойство пропорции, обозначить полученное равенство (1). 5. Выразить косинус острого угла В из треугольников АВС и ВСН. 6. Приравнять значения косинусов угла В. 7. Применить основное свойство пропорции, обозначить полученное равенство (2). 8. Сложить почленно левые и правые части равенств (1) и (2). 9. Выполнив алгебраические преобразования, получить доказательство теоремы Пифагора.
а в с с с с а а а в в в Для доказательства теоремы п остроим и рассмотрим прямоугольный треугольник А ВСД с о стороной а + в. А В С Д 1). S АВСД = (а + в)² 2). S АВСД = 4S + S = 4 1/2 ав + с²= 2 ав + с ². тогда (а + в)²= 2 ав + с², откуда а²+ 2ав + в² = 2ав + с² или а²+ в² = с². Получили, (а + в)² = 2 ав + с², Построим еще один квадрат с вершинам на сторонах квадрата АВСД и стороной с < а + в. Полученные при этом четыре треугольника равны между собой по 3-м сторонам.
в а с α а² +в²=с²
В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Для любого острого угла COS α 1.
А В С 5см 7см Найти: АВ. Дано: АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ. АС = 7см,ВС = 5см. Решение. По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС², АВ² = = 74, тогда АВ = 74см. Ответ: 74см.
6см 10 см А В С Найти: ВС. Вывод: с тороны прямоугольного АВС выражаются натуральными числами. Такие треугольники называются пифагоровыми треугольниками. Таких треугольников известно 5.
Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5, называют египетским треугольником. Он был известен еще древним Египтянам. Для построения прямых углов использовался такой треугольник. Египтяне поступали так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали ее концы и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами 3 и 4 оказывался прямым.
Пункт 63, 64, стр. 103, 2 (3), 3 (3), 4, 6 (1), стр Найти способы доказательства теоремы Пифагора, отличные от тех, что рассмотрены на уроке( по желанию ). Благодарю за сотрудничество!