Презентация на тему: «Теорема Пифагора и способы её доказательства. Цель урока: воспитание устойчивого интереса к изучению предмета геометрии; воспитание умений и навыков работы с дополнительной литературой по математике; поиска, выбора и анализы нужной информации по заданной теме и составления исчерпывающего сообщения в краткой форме; оформления наглядности и защиты своего выступления; расширение познания учащихся о жизни великого математика Пифагора, о знаменитой теореме Пифагора и различных способах её доказательства.

Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим- И таким простым путем К результату мы придем. (И.Дырченко)

Пифагор В VI Веке до н.э. средоточием греческой науки и искусства стала Иония – группа островов Эгейского моря, расположенных у Берегов Малой Азии. Там в семье Золотых дел мастера, резчика печатей и гравера Мнесарха родился сын. (в легенде ничего не говорится о годе рождения Пифагора; исторические исследования датирующего появление на свет приблизительно 580 годам до н. э.). Счастливый отец воздвигает алтарь Аполлону и окружает юного Пифагора заботами. Возможности дать сыну хорошее воспитание и образование у Мнестарха были. Как всякий отец, Мнесарх мечтал, что сын будет продолжать его дело – ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил способности к наукам.

Пифагор Прошло несколько тысяч лет, и по совету учителя Пифагор решает продолжить образование в Египте, у жрецов. Попасть в Египет в то время было трудно, потому что страну фактически закрыли для греков. Он живёт на острове Лесбос (картинка 1) у своего родственника Зоила. Там происходит знакомство Пифагора с философом Ферекидом, у которого Пифагор учится астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел, медецине и другим обязательным наукам. Пифагор прожил на Лесбосе несколько лет. Оттуда путь Пифагора лежит в Милет (картинка 2) – к знаменитому Фалесу, основателю первой в истории философской школы.

Пифагор Пифагор внимательно слушает в Милете лекции Фалеса, тогда уже восьмидесятилетнего старца. Много важных знаний приобрёл Пифагор за время своего пробывания в Милетской школе. Но Фалес тоже советует ему поехать в Египет, чтобы продолжить образование. И Пифагор отправляется в путь.

Перед Египтом он на некоторое время останавливается в Финикии, где, по преданию, учится у знаменитых сидонских жрецов. Пока он живёт в Финикии, его друзья добиваются того, что Поликрат – властитель Самоса, не только прощает беглеца, но даже посылает ему рекомендательное письмо для Амазиса – фараона Египта.

В Египте, благодаря покровительству Амазиса, Пифагор знакомится с мемфисскими жрецами. Ему удаётся проникнуть в «святая святых» - египетские храмы, куда чужестранцы не допускались. Чтобы приобщиться к тайнам египетских храмов, Пифагор, следуя традиции, принимает просвещение в сан жреца. 22 года Пифагор набирается мудрости в Египте. Во время завоевательных походов на Египет войска полководца Камбиза взяли Пифагора в плен и продали в рабство. Так он оказался в Вавилоне, где прожил более 10 лет.

Пифагор Согласно старинным легендам, в плену в Вавилоне Пифагор встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейсктх мудрецов. Халдеи познакомили Пифагора со знаниями, накопленными восточными народами в течение многих веков: астрономией и астрологией, медециной и арифметикой. Эти науки у халдеев в значительной степени опирались на представления о магических и сверхъестественных силах, они придали определённое мистическое звучание философии и математике Пифагора.

Пифагор Двенадцать лет пробыл в вавилонском плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий, прослышавший о знаменитом греке. Пифагору уже шестьдесят, он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к накопленным знаниям свой народ. С тех пор как Пифагор покинул Грецию, там произошли большие изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию, которую тогда называли Великой Грецией, и основали там города - колонии Сиракузы, Кротон.

Здесь и задумывает Пифагор создать собственную философскую школу. Довольно быстро он завоёвывает большую популярность среди жителей. Энтузиазм населения так велик, что даже девушки и женщины нарушали закон, запрещавший им присутствовать на собраниях. Одна из таких нарушительниц, девушка по имени Теано, становится вскоре женой Пифагора.

Пифагор Пифагор – это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывали истину также постоянно, как дельфийский оракул («Пифагор» значит «убеждающий речью»). В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрёл 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими жёнами и детьми образовали огромную школу и создали государство, названное «Великая Греция». Так Пифагор организовал свой пифагорейский орден и школу философов и математиков. Туда принимали с большими церемониями и после долгих испытаний. Здесь существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось самому Пифагору. В школе была очень серьёзная дисциплина. Главным безоговорочным аргументом в научных спорах были слова «сам сказал». После этого дискуссии прекращались.

Заповеди Пифагора Пифагор и его ученики были трудолюбивы и аскетичны. Вот их заповеди: -делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться; -не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать; -не пренебрегай здоровьем своего тела; -приучайся жить просто и без роскоши.

Открытия Пифагора Пифагорейцами было сделано много открытий в каждом из направлений науки того времени. Одно из самых важных – это известная теорема Пифагора. «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов,построенных на его катетах». Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного треугольника. Вероятно, с него и начинается теорема. Долгое время считалось, что до Пифагора теорема не была известна, и поэтому она получила такое название. Однако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Заслуга Пифагора в том, что он впервые доказал её. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес в жертву богам быка, а по другим источникам быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как мы». Пифагор питался только мёдом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «…и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принёс в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Известно более 200 способов доказательства теоремы Пифагора. Один из способов мы уже рассматривали на уроках математики. Рассмотрим несколько других способов.

Древнекитайское доказательство Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3,4 и гипотенузой 5 единиц измерения. По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большом катете – 16. следовательно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Древнеиндийское доказательство Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е.: (а+в)²=с² + 2ав 4S=4*0,5ав=2ав Sкв. =с² а²+2ав+в²=с²+2ав

Доказательство теоремы Пифагора в учебнике Атанасяна Дано: прямоугольный треугольник АВС Док-ть: а + b = c Док-во: 1. Достроим треугольник АВС до квадрата со сторонами (а+b) b a a a a a 2. У нас получится два квадрата: больший – со сторонами (a+b), а меньший – со стороной с 3. Найдем площадь большего квадрата S =(a+b) 4. Найдем площадь треугольника S = 0,5 ab 5. Площадь маленького квадрата будет S =c или S =S - 4S c = a + 2ab +b – 2ab = a + b Теорема доказана. b b b b с с с с с

Алгебраическое доказательство теоремы. Теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано: ΔABC Док-ть: AB 2 + BC 2 =AC 2 Док-во: Пусть ΔABC – прямоугольный и LABC – прямой. Проведём высоту BD из вершины B прямого угла. По определению косинуса угла cosA = AD/AB = AB/AC AB 2 = AD * AC cosC = DC/BC = BC/AC BC 2 = DC * AC Сложим полученные равенства почленно: AB 2 + BC 2 = AD * AC + DC*AC = AC(AD +DC)=AC 2 AB 2 + BC 2 =AC 2 ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА в с

Алгебраическое доказательство теоремы. Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения получаем Что эквивалентно Сложив, получаем или Что и требовалось доказать

Способ доказательства теоремы Пифагора. «Метод Гарфилда». Дано: Δ АВС; LА=90 О Доказать: с 2 =а 2 +в 2 Доказательство: 1)Построим СD АС, так чтобы СD= АВ. 2)Построим ЕD АD, так чтобы ED=AC. 3) Соединим точки В и Е. Соединим точки Е и С. 4)Рассмотрим ΔАВС и Δ СЕD- прямоугольные. АС=ЕD(по построению) => ΔАВС= ΔСЕD(по двум равным BA=CD(по построению) катетам) =>ВС=СЕ 5)LACD=LACB+LBCE+LECD=180 0 =>LBCE=LACD-(LACB+LECD)= =90 0 => ΔВСЕ-прямоугольный. 6)S ABED =S ΔABC +S ΔCED +S ΔBCE =2S ΔABC +S ΔBCE =2 ABAC+ BCCE=ABAC+ BCCE Т.к. ABED-трапеция, то S ABED = h = AD 7) ABAC+ BCCE= AD ABAC + BC 2 = ABAC+ = ABAC+ = + + ABAC+ = + BC 2 = AC 2 + AB 2 Ч.Т.Д ACD B E

Решите задачу Пифагора. В зданиях романского стиля верхние части для прочности и украшения расчленили на части в виде орнамента. Если ширина окна b, то радиусы полуокружности R=b:2; r=b:4. bR р r

Решение: D B CA 90 1)Cоединим точки А, В, С. 2)DBC- равнобедр.(т.к. DB=BC= +p)=>BA –высота => угол => BAС=90 3) Рассмотри ВАС – прямоугольный. Ав = в/2 - р вс = в/4 + р Ас = в/4 4) По теореме Пифагора: с 2 =а 2 +в 2 вс 2 =ва 2 +ас 2 ( в/4 +р) 2 =( в/2 -р ) 2 +( в/4 ) 2 в 2 /16 +2pв/4 +p 2 = в 2 /4 +p 2 +в 2 /16 в 2 /16+вр/ 2-в 2 /4 +в 2 p/16 = p 2 -p 2 вр/2 = в 2 /4 – вр 2вр = в - 4вр В = 4вр + 2вр В = 6 вр 6р = в Р=в/6

Решим несколько задач: 1 В треугольнике АВС угол А = 45, ВС=13 см, а высота ВD отсекает на стороне АС отрезок DC, равный 12 см. Найдите площадь треугольника АВС и высоту, проведенную к стороне ВС.

2 Одна из диагоналей ромба на 4 см больше другой, а площадь ромба равна 96 см. Найдите стороны ромба. 2

П е р п е н д и к у л я р

Г и п о т е н у з а

П е р п е н д и к у л я р Г и п о т е н у з а Ф и г у р а

П е р п е н д и к у л я р Г и п о т е н у з а Ф и г у р а М е д и а н а

П е р п е н д и к у л я р Г и п о т е н у з а Ф и г у р а М е д и а н а У г о л

П е р п е н д и к у л я р Г и п о т е н у з а Ф и г у р а М е д и а н а У г о л в ы с о т а

П е р п е н д и к у л я р Г и п о т е н у з а Ф и г у р а М е д и а н а У г о л в ы с о т а О к р у ж н о с т ь

Заповеди Пифагора Пифагор и его ученики были трудолюбивы и аскетичны. Вот их заповеди: -делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться; -не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать; -не пренебрегай здоровьем своего тела; -приучайся жить просто и без роскоши.

Над проектом работали ученицы 8А класса МОУ СОШ 4: Виктория Моисеенко, Прокопец Анастасия, Богунова Марина, Доровских Софья, Гетманцева Татьяна, Осадчая Яна.Над проектом работали ученицы 8А класса МОУ СОШ 4: Виктория Моисеенко, Прокопец Анастасия, Богунова Марина, Доровских Софья, Гетманцева Татьяна, Осадчая Яна. Руководитель проекта: Реш Валентина Михайловна.Руководитель проекта: Реш Валентина Михайловна. Источники: Сайты: Сайты: Книги: Братис В.М. средства и способы элементарных вычислений. – Москва: изд. АПН РСФСР, 1948 Книги: Братис В.М. средства и способы элементарных вычислений. – Москва: изд. АПН РСФСР, 1948 «Нестандартные уроки геометрии» издательско-торговый дом «Корифей» составитель Г.И. Григорьева «Нестандартные уроки геометрии» издательско-торговый дом «Корифей» составитель Г.И. Григорьева