§16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Определение. Точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z)

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
§11. Степенные ряды.. степенной ряд коэффициенты центр При z= z 0 ряд сходится.
Advertisements

Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Вычеты. Основная теорема о вычетах (вычет относительно конечной точки, вычет.
§18. Вычисление несобственных интегралов I-го рода от функции действительной переменной с помощью вычетов.
§19.Логарифмический вычет. - полюса, Пусть Тогда – правильная и.
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (бесконечно большие последовательности и их.
§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.
Непрерывность на отрезке Непрерывность на интервале Непрерывность в точке.
{ определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций.
Точки разрыва функции. Их классификация. Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности.
Предел функции Второй замечательный предел Бесконечно малые функции Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции Основные теоремы о непрерывных.
Def. Точка z 0 g называется точкой сгущения (предельной точкой) g, если в Def. (по Гейне) Комплексное число w 0 называется пределом f(z) z g, в точке z.
§10. Ряды аналитических функций. п.1. Числовые ряды. числовой ряд.
Дифференциал функции Определение 1. Пусть приращение функции можно представить в виде где A не зависит от, - бесконечно малая более высокого порядка малости,
Непрерывность функций Лекция 3. Непрерывность Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке, если 1)она определена в этой.
1 2 Определение производной функции в точке Непрерывность дифференцируемой функции Дифференциал функции Геометрический смысл производной и дифференциала.
Предел и непрерывность функции.. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Бесконечно малые функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки.
Def. f(z) называется дифференцируемой (или моногенной) в точке z 0 g, если при z 0 §4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической.
Транксрипт:

§16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Определение. Точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) однозначная и C (0

Точка z 0 называется изолированной особой точкой f(z), если такая окрестность точки z 0, в которой нет других особых точек.

f(z 0 ) может быть не определена. f(z) в окрестности точки z 0 можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце 0

Поведение f(z) в окрестности z 0 определяется главной частью ряда Лорана

Важное замечание В малой окрестности точки ветвления и неизолированной особой точки f(z) нельзя раскладывать в ряд Лорана.

точка сгущения (предельная точка) нулей знаменателя- неизолированная особая точка. Пример неизолированной особой точки.

Классификация изолированных особых точек I. Устранимые особые точки z 0 : c -n = 0 n > 0 => Q(z)=0; => f(z) c 0 при z z 0 z 0 - устранимая особая точка. z 0 - изолированная особая точка.

z 0 - правильная точка f(z) z: 0

Пример устранимой особой точки. устранимая особая точка.

Теорема 16.1 Если то z 0 - устранимая особая точка. f( z ) C ( 0 < | z - z 0 |< (z 0 ) ) и | f( z ) | < M при 0 < | z - z 0 | < ( z 0 ),

Доказательство.

c -n не зависят от R !

II. Полюса z 0 - изолированная особая точка. => f(z) при z z 0 z 0 - полюс т-того порядка.

Пример полюса. полюс т-того порядка.

Теорема 16.2 Если f( z ) C ( 0 < | z - z 0 |< (z 0 ) ) z 0 - изолированная особая точка f( z ) и | f ( z ) | => при z z 0 (независимо от способа стремления z z 0 ), то z 0 - полюс f(z).

Доказательство. |f(z)|=> при z z 0 => для A>0 : 0 A; g(z)=1/f(z) C (0 т => z 0 - устранимая особая точка g(z)- нуль m-того порядка. => g(z)=(z-z 0 ) m (z), m>0, (z 0 ) 0;

Существенно особые точки z 0 - изолированная особая точка. много членов (z-z 0 ) -n. число c -n 0. z 0 - существенно особая точка.

Пример существенно особой точки

Для комплексного числа B и > 0, Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса в - окрестности существенно особой точки z 0 0 < |z - z 0 | < z 1 : | f ( z 1 )- B |

=> z 0 - полюс f(z) m 0, для z 0 0. Доказательство. Пусть 0 и 0 : g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B| z 0 - устранимая особая точка g(z) (т. 16.1) => g(z)=(z-z 0 ) m (z), m 0 => или правильная точка m=0.

Замечание В окрестности существенно особой точки {z n } z 0 : {f(z n )} B.

Классификация изолированных особых точек на языке пределов. f( z ) C ( 0 < | z - z 0 |< (z 0 ) ) z 0 - изолированная особая точка f( z )

1) Если z {0 < | z - z 0 |< (z 0 ) } z 0 - устранимая особая точка f(z).

2) Если z {0 < | z - z 0 |< (z 0 ) } z 0 - полюс f(z).

3) Если z {0 < | z - z 0 |< (z 0 ) } z 0 - существенно особая точка f(z).

Бесконечно удаленная изолированная особая точка. Определение. z является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции, если R>0 : для z : |z|>R f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0.

Ряд Лорана:1) Если z - устранимая особая точка f(z).

2) Если z - полюс f(z).

3) Если z - существенно особая точка f(z).