§20. Конформные отображения.

Определение обладающее свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением в точке z 0 => б.м. б.м. ; б.м. б.м..

Основное определение. Непрерывное взаимно однозначное области g Z D W, при котором в z g выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений, называется конформным отображением g на D.

Теорема 20.1 Если f(z) C (g), однозначная и однолистная, и f (z) 0, z g, то Доказательство. Данное отображение f(z) обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений (см. выше).

Теорема 20.2(обратная) Если, то f(z) C (g), однолистна, и f (z) 0, z g. Доказательство., то f(z)- непрерывна, однозначна и однолистна.

Постоянство растяжений => Сохранение углов => Замечание. Свойство f (z) 0, z g является следствием однолистности.

Теорема Необходимым и достаточным условием конформного отображения является f(z) C (g), однозначна и однолистна в g. Доказательство. Необходимость доказана выше (Теорема 20.2). Достаточность. См. "А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов Теория функций комплексной переменной." М.: Наука- Физматлит 1999, с.156.

Основные принципы конформных отображений. Принцип соответствия границ. Если f(z) C ( g ), g-односвязна и f( ): g = D плоскости w с сохранением направления обхода, то

Доказательство. Докажем, что f(z) однолистна в g, т.е. а) w 1 D ! z 1 g : w 1 =f(z 1 ); б) w 2 D не ни одной z 2 g: f(z 2 )=w 2. Рассмотрим две произвольные точки w 1 D и w 2 D и построим в g вспомогательные функции F 1 (z)=f(z)-w 1, F 2 (z)=f(z)-w 2, z g.

Подсчитаем число нулей этих функций по принципу аргумента:

Замечание. Если f(z) C ( g\z 0 ), z 0 - полюс первого порядка и f( ): g с изменением направления обхода, то

Обратная теорема. Если f(z): (D-ограничена), то f(z) C ( g ) и осуществляет непрерывное и взаимно- однозначное соответствие границ g D.

Теорема Римана Основной закон конформных отображений g Z ; D W Теорема Римана. Если g- односвязная g Z, g состоит более чем из одной точки, то

Теорема Если g- односвязная g Z, g состоит более чем из одной так что f(z 0 ) = 0 и arg f '(z 0 )=, z 0 g и - заданные числа. точки, то ! f(z) C (g): Полное доказательство см. А.В.Бицадзе "Основы теории аналитических функций".

Замечания 1) Пусть g Z ; D W т. Римана Тогда =f(z):, f(z 0 )= 0 и w= ( ):, ( 0 )= w 0 => w=F(z)= (f(z)): F(z 0 )=w 0

2) Односвязность существенна! 3) Условия т. Римана можно заменить установлением соответствия 3-х точек g трем точкам D.

п.4. Основные функции, используемые при конформных отображениях.

1) Степенная w=f(z)=z n : область однолистности 0

f(z)=z 2

2) w=f(z)=1/z : область однолистности- вся комплексная плоскость.

3) w=f(z)=e z : область однолистности -

Дробно-линейная функция (ДЛФ) 3 параметра,., f '(z) 0 для z

1) Геометрический смысл. повороты и растяжения, отражение от действительной оси, инверсия

2) Заданием соответствия z 1 w 1, z 2 w 2, z 3 w 3, ДЛФ определена однозначно, т.е. коэффициенты,, однозначно выражаются через z 1, w 1, z 2, w 2, z 3,w 3.

Доказательство

Свойства дробно-линейной функции. 1) Круговое: A(x 2 +y 2 )+Bx+Cy+D=0; z=x+iy=1/ =1/( +i )= = /( )-i /( )=> x= /( ), y= - /( ) => A+B -C +D( )=0.

Задав z i w i, i=1,2,3 Окружность на плоскости однозначно определяется заданием 3-х точек.=> c сохранением направления обхода однозначно определим дробно- линейную функцию

Пример. z=1 w= 0; z= i w= 1; z= -1 w = ; w= (z-1)/(z+1); 1= (i-1)/(i+1)=> =-i => w=i (1-z)/(1+z).

Сохранение сопряженности точек. Сопряженные=> Сопряженные

Пример.