Квадратичная функция Учитель математики МОУ ООШ п. Романовка Завгородняя Т. И.

Примеры квадратичной функции Площадь квадрата у со стороной х вычисляется по формуле у=х 2 у=х 2 Если тело брошено вверх со скоростью v, то расстояние s от него до поверхности земли в момент времени t определяется формулой Определение. Функция у=ах 2 +bх+с, где а, b и с заданные действительные числа, а 0, х – действительная переменная, называется квадратичной функцией. 0

Построение графика квадратичной функции у=х 2 1. Для того, чтобы построить график функции у=х 2, необходимо составить таблицу соответственных значений х и у. х у Построим эти точки на координатной плоскости, а затем через них Проведём плавную линию. Мы получим график функции у=х 2. у х У=х 2

Свойства функции у = х 2 1). Значение функции у=х 2 положительно при х0 и равно нулю при х=0 Парабола у=х 2 проходит через начало координат, а остальные точки лежат выше оси абсцисс. Говорят, что парабола у=х 2 касается оси абсцисс в точке (0; 0) 2). График функции у=х 2 симметричен относительно оси ординат. Таким образом, ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы. 3). Функция у=х 2 возрастает на промежутке [0; +); убывает на промежутке (- ; 0] 4). Наименьшее значение функции равна нулю при х=0

График квадратичной функции у=kх 2 с положительным коэффициентом k. х у у=0,5х 2 у=х 2 у=2х 2 о Чем больше коэффициент, тем круче поднимаются ветви параболы. Чем меньше коэффициент, тем ветви параболы ближе к оси Ох

График квадратичной функции y=kx 2 с отрицательным коэффициентом k х у У=-х 2 Когда коэффициент k отрицательный, то ветви параболы направлены вниз. У=-0,5х 2 У=-2х 2 Чем меньше модуль коэффициента k, тем ветви параболы ближе к оси Ох о

Если в функции у=ах 2 коэффициент а=0, то график превратится в прямую линию, совпадающую с осью абсцисс. Если в функции у=ах 2 +вх+с коэффициент а равен нулю, то квадратичная функция У=ах 2 +вх+с превратится в линейную функцию. Поэтому, рассматривая квадратичную функцию, обычно подразумевают, что коэффициент а 0 х у 0 у х у=вх+с У=0

Схема построения графика функции у=ах 2 +вх+с 1.Находим координаты вершины параболы (х 0 ;у 0 ) с помощью формул: ;У 0 (х 0 )=ах 0 2 +вх 0 +с 2. Проводим ось симметрии параболы у=ах 2 +вх+с, которая проходит через вершину параболы параллельно оси ординат. 3. Находим нули функции, если они есть, приравнивая ах 2 +вх+с к нулю. 4. Находим симметричные относительно её оси симметрии несколько точек. Вычисляем значения функции в этих точках. 5).Проводим через построенные точки параболу. Ветви параболы направлены вверх при а0, вниз при а0.

По данной схеме построить график функции у=х 2 -4х+3 1. Вычислим координаты вершины параболы: х 0 = ;в;в ; у 0 =4-8+3=-1 Построим точку (2; -1) у х Проведём ось симметрии через точку (2; -1) параллельно оси ординат. 3. Найдём нули функции, решая уравнение Х 2 -4х+3=0. х 1 =1; х 2 =3. Построим точки (1;0) и(3; 0) 4.Построим симметричные точки. х045 у Ось симметрии. 3 3

Построить график функции у=-4х 2 +4х-1 и по графику: 1).Найти значения х, при которых значения функции положительны; отрицательны. 2).Найти промежутки возрастания и убывания функции. 3). Выяснить, при каком значении х функция принимает наибольшее или наименьшее значение, и найти его.

Проверка: функция квадратичная, график – парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент а отрицательный. 1). Найдём координаты вершины У 0 =0 ; Строим точку с координатами (0,5; 0) 2).Проводим через неё ось симметрии параллельно оси ординат. 3). Находим симметричные точки х012 у у х 0 4). Проведём через полученные точки параболу. 0,5 У = - 4х 2 + 4х

1). Значения функции у= - 4х 2 +4х – 1 положительны при х Ø; отрицательны при х (-; 0) υ (0; + ) 2). Функция возрастает на промежутке (- ; 0,5]; функция убывает на промежутке [0,5; + ) 3). При х=0,5 функция принимает наибольшее значение, равное нулю.. 0,5....

Построить графики функций у=(х+2) 2 и у=(х-3) 2 х у... У=(х+2) Графиком функции у=(х+2) 2 является парабола, получаемая сдвигом параболы у=х 2 на две единицы влево вдоль оси абсцисс у х у=(х-3) 2 Графиком функции у=(х-3) 2 является парабола, получаемая сдвигом параболы у=х 2 на три единицы вправо вдоль оси абсцисс. У=х 2

Построить графики функций у = х и у = х х у х у у = х у = х Графиком функции у=х 2 +2 является парабола, получаемая сдвигом параболы у=х 2 на две единицы вверх по оси Оу. Графиком функции у = х 2 – 3 является парабола, получаемая сдвигом параболы у = х 2 на три единицы вниз по оси Оу.

Тест по теме «Квадратичная функция» 1. Найти нули функции у = 2х 2 + 5х - 7 [у = 5х 2 - 8х - 4].А). 3,5; 1 Б). -7; 2 В).-3,5; 1 Г). 7; -2 [ А). 2; -4/5 Б). 2; -0,4 В).-2; 0,4 Г). 1; 0,2 ] 2. Определить направление ветвей параболы у = 4х 2 [у = - 3х 2 ] А). Ветви направлены вниз. Б). Ветви направлены вверх. 3. Используя графики, выяснить какие из этих функций возрастают на промежутке [0; +) х уу у х х А). Б).В). [ (-; 0] ]

Прдолжение теста. 4. Найти коэффициент а, если парабола у = ах 2 проходит через точку А(-1; 1) [ В(1; 2) ] А), 1 Б).-1 В). 2 Г) Найти координаты вершины параболы у = (х -3) 2 -2 [ у = (х + 2) 2 – 3 ] А). (-3; -2) Б). (3; 2 ) В). (3; -2) Г). ( -2; -3) 6. Найти координаты вершины параболы У = 2х 2 – 8х + 11 [ у = -3х х – 7 ] А). (2; 3) Б). ( 3; 20 ) В). ( 3; 2 ) Г). (20; 3) 7. Ось симметрии параболы у = х 2 – 10х [ у = 3х 2 – 12х ] проходит через точку А). (5; 10) Б). (5; -25) В). (2; -12) Г). (2; 5)

8. Не строя графика функции, найти её наибольшее или наименьшее значение: У = х 2 + 2х + 3 [ у = -х 2 + 2х + 3 ] А).(-1; 2) наибольшее значение; Б). (-1; 2) наименьшее значение; В).(1; 4) наибольшее значение; Г). (1; 4) наименьшее значение. 9. Верно ли утверждение, что функция у = х 2 [ у = - х 2 ] возрастает на промежутке: А). [ 1; 4 ] Б). [ -1; 4 ] В). Х >3 Г). Х < При каких х значения функции у = х 2 +3 [ у = х ] не больше 28 А).[-5; 5 ] Б). [-5; 4 ] В). [-4; 4 ] Г). ( -4; 4 ) Продолжение теста.

Самопроверка теста.Оценка «5» ставится за 10, 9 верно решённых заданий; оценка «4» ставится за 7, 8 верно решённых заданий, оценка «3» - за 5, 6 верно решённых заданий, оценка «2» ставится, если выполнено меньше пяти заданий. задания I вариант ВБААВАББА,ВА I I вариант БАБВГБВВБ,ГВ

Задачи-исследования 1). График какой из функций симметричен графику функции у = 0,5х 2 +х – 4 А).у = -0,5х 2 + х – 4 Б). У = -0,5х 2 – х + 4 В). У = 0,5х – х + 4 Г). У = 0,5х 2 – х - 4 2). Какая из парабол самая «крутая»? Самая «пологая»? А). У = 0,3х 2 ; Б). У = 10х 2 ; В). У =8х 2 ; у = 0,1х 2.

1. Сформулируйте определение квадратичной функции. 4. Как построить график функции у = ах 2 + bх + с? 3. Как из графика у = ах 2 можно получить график функции А).У = ах 2 + n Б). У = а(х – m) 2 В). У = а(х – m) 2 + n ? 2. Сформулируйте свойства квадратичной функции у = ах 2 а) при а > 0 б). При а < 0 Контрольные вопросы: