Раздел 3. МЕТОДЫ РАСЧЁТА СТАТИЧЕСКИХ (РАВНОВЕСНЫХ) РЕЖИМОВ 1. Консервативность 2. Причинность 3. Положительность. 4. Обратимость При разработке конкретных алгоритмов, реализующих методы численного моделирования, желательно учитывать следующие свойства: 1. Метод установления. Критерием окончания расчёта (останова) на К-м шаге является выполнение: 2. Итерационные методы: - Метод релаксации (метод простой итерации).

Пример 3.1. Рис Исследование статических режимов: а – структурная схема; б – процессы на выходе Рис Процессы установления равновесия Характеристическое уравнение линеаризованной системы

2. Метод Пикара (Picard). Метод Пикара обладает линейной сходимостью. 3.Метод Ньютона Итерационный оператор: Рис Геометрическая интерпретация метода Ньютона: а – сходящийся процесс; б – зацикливание

Рис Многомерная нелинейная система: а – структура; б – процессы установления равновесия

Рис Структура линеаризованной системы Аналитико-численное решение Статическую модель системы можно представить как Тогда функциональная матрица Якоби

4. Метод Ньютона с параметром (метод Ньютона–Бройдена (Broyden)) Вид итерационной процедуры в канонической форме: 5. Нелинейный метод Якоби Пусть система уравнений (3.1), составленная для модели статики, представлена в следующей итерационной форме:

6. Нелинейный метод Зейделя (Seidel) Метод состоит в последовательном решении системы уравнений (3.1), представленной в итерационной форме записи: выводы: 1. Метод Ньютона всегда имеет область сходимости 2. Существуют модели СУ, для которых метод Ньютона расходится или происходит зацикливание итераций (рис. 3.4, б). 3. Сходимость метода Ньютона в начале итерационного процесса, чаще всего линейная. 4. Начиная с некоторого шага, сходимость метода Ньютона значительно увеличивается и становится квадратичной. 5. Применённый к линейной СУ, статическая модель которой описывается системой алгебраических уравнений метод Ньютона сходится за одну итерацию.

3.4. Повышение алгоритмической надёжности итерационных методов !. Обычно используют метод продолжения решения по параметру а на последнем шаге где – решение системы. Разновидностью метода продолжения решения по параметру является метод движущейся области сходимости