Рассмотрим два полупространства, образованных непараллельными плоскостями Пересечение этих полупространств будем называть двугранным углом Двугранный угол – это фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Ребро двугранного угла Полуплоскости, образующие двугранный угол, называют - гранями двугранного угла. Прямая а – общая граница полоуплоскостей - называетсяа ребром двугранного угла,

Прямую, по которой пересекаются плоскости – границы полупространств, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости этих плоскостей, образующие двугранный угол, - гранями двугранного угла. Грань двугранного угла

K B a A β T A β a B Двугранный угол с гранями, β ребром а обозначают а β. Можно использовать и такие обозначения двугранного угла, как K(AB)T; (AB) β (рис.94,95). Рис.94 Рис.95

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре а двугранного угла а β отметим произвольную точку O и в гранях и β проведём из точки O соответственно лучи ОА и ОВ, перпендикулярные ребру а. а β О А В Угол АОВ, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла а β. Линейный угол двугранного угла

а β О А В Так как а ОА, а ОВ, то плоскость АОВ перпендикулярна прямой а. γ линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру. Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру.

Теорема : Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла. Определение : Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. Величина двугранного угла (измеренная в градусах ) принадлежит промежутку (0°;180°).

Двугранный угол является острым, прямым или тупым, если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой. а β острый

Двугранный угол является острым, прямым или тупым, если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой. а β прямой

Двугранный угол является острым, прямым или тупым, если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой. а β тупой

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы. γ а β смежные

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы. β β1β1 а 1 вертикальные

Определение : Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении. Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается равным нулю.

β β1β1 а 1 с Если величина угла между плоскостями и β равна, то пишут : ( ; β)=. Величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0°;90°].

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0.

Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, плоскости стены и потолка. плоскости стены и потолка.

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.АВСD

Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей. a

Прямоугольный параллелепипед Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед Две грани параллелепипеда параллельны.

1 0. В прямоугольном параллелепипеде все шесть 1 0. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. граней – прямоугольники Все двугранные углы прямоугольного 2 0. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. параллелепипеда – прямые. Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

ПланиметрияСтереометрия В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений. А В С D d a b d 2 = a 2 + b 2 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. d 2 = a 2 + b 2 + с 2 a b с d

d C а b с B A D B1B1 C1C1 D1D1 A1A1 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. d 2 = a 2 + b 2 + с 2

а Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.Задача D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 d 2 = a 2 + b 2 + с 2 d = 3a 2 d 2 = 3a 2 d = a 3 а а а

Вопросы по теории Что такое двугранный угол? Основные элементы двугранного угла Как обозначается двугранный угол? Как измерить двугранный угол? Каким может быть двугранный угол? Как определяется угол между плоскостями? Какие плоскости называются перпендикулярными? Признак перпендикулярности плоскостей Следствие из признака перпендикулярности плоскостей Что такое параллелепипед? Что такое прямоугольный параллелепипед? Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда? Формула, связывающая все измерения прямоугольного параллелепипеда Формула для вычисления диагонали куба.