Перпендикуляр Перпендикуляром, опущенным из точки A на прямую а, называется отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B прямой a, перпендикулярный прямой a. Точка B называется основанием перпендикуляра. Длина перпендикуляра AB называется расстоянием от точки A до прямой a.

Наклонные Для произвольной точки C прямой a, отличной от основания перпендикуляра B, отрезок AC называется наклонной, проведенной из точки A к прямой a. Точка C называетсяоснованием наклонной. Отрезок BC называетсяпроекцией наклонной.

Теорема Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую, короче всякой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой. Иначе говоря, расстояние от точки до прямой является наименьшим из расстояний от этой точки до точек данной прямой.

Вопрос 1 Что называется перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую? Ответ: Перпендикуляром, опущенным из данной точки A на данную прямую а, называется отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B прямой a, перпендикулярный прямой a.

Вопрос 2 Что называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой? Ответ: Наклонной, проведенной из точки A к прямой a, называется отрезок AC, соединяющей точку A с произвольной точкой C прямой a, отличной от основания перпендикуляра B.

Вопрос 3 Что называется расстоянием от точки до прямой? Ответ: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Вопрос 4 Что больше, перпендикуляр или наклонная, проведенные из одной точки к данной прямой? Ответ: Наклонная.

Упражнение 1 Сколько перпендикуляров можно опустить из данной точки на данную прямую. Ответ: Один.

Упражнение 2 Сколько наклонных можно провести из данной точки к данной прямой. Ответ: Бесконечно много.

Упражнение 3 Длина какого отрезка является расстоянием от вершины треугольника до его противоположной стороны? Ответ: Высоты.

Упражнение 4 Могут ли неравные наклонные, проведенные из одной точки к одной прямой, иметь равные проекции? Ответ: Нет.

Упражнение 5 Могут ли равные наклонные, проведенные из одной точки к одной прямой, иметь неравные проекции? Ответ: Нет.

Упражнение 6 Чему равна проекция одной стороны равностороннего треугольника на прямую, содержащую другую его сторону? Ответ: Половине стороны треугольника.

Упражнение 7 Чему равна проекция гипотенузы прямоугольного треугольника на его на прямую, содержащую его катет? Ответ: Этому катету.

Упражнение 8 Чему равна проекция боковой стороны равнобедренного треугольника на его основание Ответ: Половине основания.

Упражнение 9 Гипотенуза AB прямоугольного равнобедренного треугольника ABC равна 6 см. Найдите расстояние от вершины C до прямой, содержащей эту гипотенузу. Ответ: 3 см.

Упражнение 10 Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны 5 см. На гипотенузе AB взята точка D. Найдите сумму расстояний от этой точки до прямых, содержащих катеты этого треугольника. Ответ: 5 см.

Упражнение 11 Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны 3 см и 4 см. На гипотенузе AB взята точка D. В каких пределах находится сумма S расстояний от этой точки до прямых, содержащих катеты этого треугольника. Ответ: 3 см < S < 4 см.

Задача Герона Задача. Дана прямая с и две точки А и В на плоскости. Найдите такую точку С на этой прямой, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей. Решение. В случае, если точки A и B лежат по разные стороны от прямой c, то искомой точкой C является точка пересечения отрезка AB и прямой c. Действительно, для любой другой точки C прямой c имеем: AC+CB >AC + CB. Если точки A и B лежат по одну сторону от прямой c, то для нахождения искомой точки C заменим точку B на точку B', симметричную B относительно прямой c. Тогда BC=BC и этот случай сводится к предыдущему.

Упражнение 12 Задача. Точки A и B расположены по одну сторону и на одинаковом расстоянии от прямой c. Где на прямой c расположена точка C, для которой сумма расстояний AC + CB наименьшая? Ответ. Искомой точкой C является середина отрезка GH.

Упражнение 13 Дана прямая с и две точки А и В по одну сторону от нее. Точка С на прямой c обладает тем свойством, что сумма расстояний АС + СВ – наименьшая. Докажите, что угол 1 равен углу 2. Доказательство. Рассмотрим точку B, симметричную точке B относительно прямой c. Углы 1 и 3 равны, как вертикальные. Углы 2 и 3 равны, как соответственные углы в равных треугольниках BCH и BCH. Следовательно, угол 1 равен углу 3.

Отражение света Известно, что луч света распространяется по кратчайшему пути. Поэтому, если луч света исходит из точки A, отражается от прямой c и приходит в точку B, то точка C, найденная в задаче Герона, будет точкой отражения и, таким образом, имеет место закон отражения света: угол падения светового луча равен углу отражения.