Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение. А. Дистерверг Уравнения являются математическими моделями очень многих физических и иных явлений. Поэтому решение различных практических задач сводится к решению уравнений. Уравнением с одним неизвестным называется запись вида А(x)=B(x), в которой A(x) и B(x)-выражение от неизвестной x. Областью определения уравнения называется множество всех значений x, при которых определены обе части уравнения. Корнем или решением уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Виды уравнений. Целые рациональные Линейные(приводимые К виду ax=b) Квадратные(приводимые к виду ax^2+bx+c=0 A не равно 0)) Полные(b не равно 0, с не равно0) Приведенные(а=1) Неполные, приводимые к виду ax^2+c=0 (b=0) ax^2+bx=0 (c=0) ax^2=0 (b=0, c=0) Неприведенные(а не равно 0) Дробно-рациональные Линейные и квадратные уравнения решаются по готовым формулам, они называются простейшими. Главная задача при решении любого уравнения- свести его к простейшему

1) 2(x+7)=2x+14 2) 3(x-1)-5(5-x)=7 3) (a^2-9)x=a^2-5a+6 4) 2x+5-x=8x Уравнение 1 и меет б есконечное м ножество к орней, у равнение 2- р ешений н е и меет, уравнение 4 и меет о дин к орень, у равнение 3- л инейное у равнение с п араметром ; в зависимости о т з начения п араметра а у равнение м ожет и меть различное к оличество к орней. Решим уравнение 3: Случай1. а^2-9=0.Тогда а=-3 или а=3. Если а=-3, то исходное уравнение примет вид 0x=30 и корней не имеет. Если а=3, то получим уравнение 0x=0, для которого любое действительное число является корнем. Случай2.(a^2-9) не равно 0. Т.е. получаем что а не принадлежит (-3;3). Тогда мы выражаем x через а. Получаем: х = (а-2)/(а+3) Решить уравнение с параметром а- это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Связь числа корней уравнения с его коэффициентами. Уравнения вида ax=b а=0а не равно 0 b=0 b не 0 0х=00х=b ах=b Бесконечное множество корней Нет действительных корней b принадлежит R Один корень (х=b/a) Уравнения вида ax^2+bx+c=0 Дo Корней нет Один корень Два корня Если коэффициент при х ^2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль. Уравнения вида ax=b а=0а не равно 0 b=0 b не 0 b принадлежит R Уравнения вида ax=b а=0а не равно 0 b принадлежит R

Основными р ациональными у равнениями с одной п еременной я вляются л инейные и квадратные у равнения. В се о стальные рациональные у равнения п риводятся с помощью р азличных п реобразований к этим о сновным. Два у равнения н азываются р авносильными, если о ни и меют о динаковые к орни и ли о ба уравнения н е и меют к орней. Уравнение Y2 н азывается с ледствием уравнения Y1, е сли л юбой к орень Y1 является к орнем Y2. Если и сходное у равнение п реобразуется в равносильное у равнение, т о н икакой о собой проверки р ешения у равнения н е т ребуется. Если ж е и сходное у равнение п реобразуется в п роцессе р ешения в у равнение - следствие, то о бязательна п роверка в сех н айденных корней. a/b=0 Тогда а=0 b=0

Методы р ешения рациональных у равнений. Методы решения Введение новых переменных Разложение на множители Графический Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному Более ч асто и спользуются м етоды Разложения н а м ножители и в ведение Новых п еременных !

Суть этого метода заключается в следующем: уравнение f1(x)f2(x)f3(x)=0 можно заменить совокупностью уравнений: f1(x)=0; f2(x)=0; f2(x)=0. Решив уравнение этой совокупности, возьмите их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросьте как посторонние. Метод разложения на множители включает в себя: 1.Способ группировки. 2.Вынесение общего множителя за скобки. 3.Использование формул сокращенного умножения. 4.Способ выделения полного квадрата. 5.Разложение квадратного трехчлена aх^2+bx+c=a(x-x 1 )(x- x 2 ),где x 1, x 2 - корни этого трехчлена.

Сформулируем идею графического метода решения уравненияf(x)=g(x): 1. Необходимо п остроить г рафики ф ункций y=f(x), y=g(x) 2. Найти т очки п ересечения – к орнями уравнения с лужат а бсциссы э тих т очек. В каких случаях лучше использовать этот метод? -К-Когда н еобходимо о пределить ч исло к орней уравнения, у гадать з начение к орня, н айти приближенные з начения к орней Графические способы решения красивы, просты, но не дают стопроцентной гарантии решения любого рационального уравнения.

Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Суть м етода в ведения н овых п еременных : Если у равнение f(x)=0 у далось п реобразовать к в иду z(g(x))=0, то н ужно в вести н овую п еременную y=g(x), р ешить уравнение z(y)=0, а з атем р ассмотреть с овокупность уравнений : g(x)=y1, g(x)=y2, … g(x)=yn г де y1,y2,…yn- к орни уравнения z(y)=0 Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить лишь в процессе каких- либо преобразований.