ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС МОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2) Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций Учитель математики МОУ СОШ им. А.С. Попова г.о. Власиха Московской области Вершинина Наталия Владимировна

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: O d1d1 d2d2 α

O d1d1 d2d2 α S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на части так, что произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника, равны: Обоснование: найти площадь каждого из образованных диагоналями четырёх треугольников по формуле Затем сложить эти площади (свойство 1) или перемножить (свойство 2).

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.

C D B A s s s s o 1.Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой. Специфика параллелограмма

C D B A b a o a b d1d1 d2d2 2.В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его cторон: d d 2 2 = 2(a 2 +b 2 ) Специфика параллелограмма

3. Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, перпендикулярны. C D B A

Специфика параллелограмма C D B A 4.При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается равнобедренный треугольник.

Специфика параллелограмма C D B A 1.Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. 2.Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 3. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.

C D B A Специфика параллелограмма C D B A 5. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником. 6. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом. C D B A 4.Параллелограмм, имеющий равные высоты, является ромбом.

C D B A s s1s1 s s2s2 o Специфика трапеций 1.Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют четыре треугольника, два из которых равновелики, а два других – подобны с коэффициентом подобия равным отношению оснований трапеции. OAD ~ OCB (по двум равным углам), S OAD : S OCB = k 2, где k = AD:BC = OA:OC = OD:OB.

C D B A s s1s1 s s2s2 o Специфика трапеций 2. S BAD = S CAD, S ABC = S DBC (как площади треугольников, имеющих cоответственно одинаковые основания и высоты). 3. S OAB = S OCD (т.к. S OAB = S ABC – S OBC = S DBC – S OBC = S OCD ). 4. S BAD : S DBC = AD : BC (S BAD = 0,5·AD·h, S DBC = 0,5·BC·h).

C D B A s s1s1 s s2s2 o Специфика трапеций 5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям, равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S 1 S 2 = S 2. (S OAD =S 1 =0,5·OB·OC·sin α, S OCB = S 2 =0,5·OA·OD·sin α, S OAB =S=0,5·OA·OB·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α, S OCD =S=0,5·OC·OD·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α, тогда S 1 S 2 = S 2 ).

6. Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны (следует из того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей). C D B A C D B A o 7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой. Специфика трапеций

Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию. C D B A Построение 1 Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию C D B A E Построение 2 Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD провести прямую CE, параллельную диагонали BD, до пересечения с AD в точке E; получится треугольник ACE, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции AE = AD + DE. При этом площадь трапеции ABCD равна площади образованного треугольника ACE: S ABCD = S ACE

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию C D B A H1H1 H2H2 C D B A P Построение 4 Достроить трапецию ABCD до треугольника APD, вершина Р которого образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции. Построение 3 Из вершин меньшего основания трапеции опустить две высоты BH 1 и CH 2.

Задача 1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.) Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. O A D C B K P T H

Решение. 1.Точки K, Р, Т, Н середины сторон четырёхугольника ABCD. Отрезки АС и ВD – диагонали четырёхугольника ABCD. O A D C B K P T H 3.По условию КТ = РН; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол КРТ – прямой; следовательно, угол между диагоналями ВD и АС тоже прямой, а значит, S ABCD = 0,5· ВD· АС = 0,5 · 3 · 4 = 6. Ответ: По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали ВD и равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм.

Задача 2. (ФИПИ 2014г.) На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь треугольника АРD. C D B A K P

C D B A K P Решение. 1. AВD = CDB (по трём равным сторонам). S AВD = S CDB = 0,5·S AВCD = =0,5·24=12; S КРB = S CDB – S PKCD = 12 – 10 = 2 2. APD ~ KPB (по двум равным углам); S AРD : S KPB = k 2 ; AP=k·PK, DP=k·PB 3. AВP и ВPK имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AВP : S KPB = АP : PK = k (из п.2) 4. APD и ABP имеют общую высоту из вершины A, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AP D : S AВP = DP : PB = k (из п.2)

C D B A K P 5. Из п.3 и п.1 S AВP = k·S KPB = 2k 6. Из п.4 и п.5 S APD = k·S ABP = k·2k = 2k 2 7.S ABD = S AВP + S APD = 2k + 2k 2. Из п.1 следует 2k + 2k 2 = 12. Корни уравнения k 2 + k – 6 = 0 числа –3 и 2; по смыслу задачи k = S APD = 2k 2 = 2·2 2 = 8. Ответ: 8.

C D B A s s1s1 s s2s2 o Задача 3. (МИОО 2013г.) Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников OАD и OCВ равны соответственно 16 см 2 и 9 см 2. Найдите площадь трапеции.

C D B A s s1s1 s s2s2 o 3. AВО и СВО имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AВО : S CВО = ОА : ОC = 4:3 (из п.2). Следовательно, S AВО = Решение. 1.По условию S OAD не равна S OCB, значит, AD и BC – основания трапеции ABCD. 2. OAD ~ OCB (по двум равным углам), S OAD : S OCB = k 2 =16:9, где k = 4:3 = OA:OC.

C D B A s s1s1 s s2s2 o 4. S BAD = S CAD, т. к. эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции. Значит, S OAB = S ABC – S OBC = S DBC – S OBC = S OCD, т. е. S OCD = S OAB = S AВCD = S OAD + S OCB + S OCD + S OAB = = 49 cм 2. Ответ: 49 cм 2.

K P N A o M B Задача 4. (МИОО 2010г.) Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP=40 см, NK=24 см.

K P N A o M B 2. Δ AMO~ Δ NMK по двум углам: а) М общий; б) MAO= MNK как соответственные при AO параллельной NK и секущей MN. Решение. 1. Δ MOP~ Δ KON по двум углам: а) NOK= MOP как вертикальные б) PMO= NKO как внутренние накрест лежащие углы при NK параллельной MP и секущей MK.

K P N A o M B 3. Аналогично 4. AB = 30 см. Ответ: 30 см.

Задача 5. (МИОО 2013г.) В трапеции ABCD на диагонали BD выбрана точка Е так, что Площадь треугольника DCB равна 15. Найдите площадь треугольника АBЕ. C D B A F E

Решение. 1. Пусть точка F – точка пересечения прямых CE и AD. Тогда ABCF – параллелограмм (по определению параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; S FCB = 0,5·S ABCF C D B A F E

3. AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую высоту, проведённую к AB. Значит, S АВЕ = 0,5·S ABCF = S DCB = 15. Ответ: 15. C D B A F E 2. S DCB = S FCB (как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции). Значит, S DCB = S FCB = 0,5·S ABCF = 15.

Задача 6 (МИОО 2013г.) В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36. D A BNCM H E

D A BNCM H E Решение. По свойству равнобедренной трапеции AC=BD, следовательно, треугольники ABC и DCB равны. Так как AB=BC=CD, треугольники ABC и DCB равнобедренные, следовательно, BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит, AH=HC=BE=ED. Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, cледовательно, прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH – трапеция.

D A BNCM H E Площадь трапеции ABCD: Ответ: 9.

Задача 7. Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины оснований 2. Найдите площадь трапеции. C D B A F K L M Решение. 1. Дополнительное построение: СМ параллельна KL, CF параллельна BD. 2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы; LM = KC = 0,5·BC, DF= BC, AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5·BC. 3. CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы

C D B A F K L M 4.Пусть h – высота трапеции ABCD или треугольника ACF. Тогда S ABCD = 0,5·(AD+BC)·h = 0,5·(AD+DF)·h = 0,5·AF·h = S ACF =6. Ответ: 6. По формуле Герона Полупериметр треугольника ACF равен

1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCТ длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CТ, равна одному метру. Прямые BТ и AC перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BТ. 3. На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКСD равна 31. Найдите площадь треугольника АРD. Задачи для самостоятельного решения Ответ: 20. Ответ: 1 метр. Ответ: 25.

4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников АOD и ВOC равны соответственно 25 см 2 и 16 см 2. Найдите площадь трапеции. 5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF, если AD= =12 см, ВC=24 см. 6. В трапеции ABCD (AD параллельна BC, AD > BC) на диагонали AC выбрана точка Е так, что ВЕ параллельна CD. Площадь треугольника АВC равна 10. Найдите площадь треугольника DЕC. Задачи для самостоятельного решения Ответ: 81 см 2. Ответ: 16 см. Ответ: 10.

А.С. Зеленский, И.И. Панфилов «Геометрия в задачах». Учебное пособие для учащихся старших классов и поступающих в вузы. – Москва, НТЦ «Университетский» УНИВЕР-ПРЕСС, И.В. Ященко, С.А. Шестаков и др. Математика. 9 класс. Типовые тестовые задания. – «Экзамен», Москва, Образовательный портал для подготовки к экзаменам РЕШУ ЕГЭ Использованные источники