С в о й с т в а к о р н е й к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я

Теорема Виета Теорема Виета Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения Разложение квадратного трехчлена на множители Разложение квадратного трехчлена на множители Exit

Приведённые квадратные уравнения Приведённые квадратные уравнения Теорема Виета Теорема Виета Теорема обратная теореме Виета Теорема обратная теореме Виета Франсуа Виет( ) Франсуа Виет( )

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно равно свободному члену. Доказательство

Особого внимания заслуживают квадратные уравнения в которых первый коэффициент равен единице. Такие уравнения называются приведёнными. Если в приведенном квадратном уравнении обозначить второй коэффициент буквой p, а свободный член буквой q, то уравнение будет иметь вид

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x 2 +px+q=0 Если дискриминант этого уравнения больше нуля, то уравнение имеет два корня: Далее

Найдём сумму корней: Сумма корней –p, т.е. второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: x 1 +x 2 =-p Найдём прозведение корней: Произведение корней равно q, т.е. свободному члену: x 1 x 2 =p Далее

Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один корень. Его можно найти по формуле корней В дальнейшем в некоторых случаях целесообразно считать, что такое уравнение имеет не один, а два разных корня: и Тогда и в этом случае теорема Виета останется верной. Сложив x 1 и x 2, получим-p: Далее

Перемножив x 1 и x 2, получим P 2 /4. Но так как D=p 2 -4q=0, то P 2 =4q, а поэтому: Теорема доказана.

Франсуа Виет ( ), французский математик, по профессии юрист; ввел бук­ венные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнения «(Введение в аналитическое искусство», 1591). Ему принадлежит установление единообразного приема решения уравнений 2, 3 и 4-й степеней. Виет получил существенные результаты в тригонометрии, астрономии, криптографии; с появлением его работ в научных кругах Европы стали использоваться десятичные дроби. Среди своих открытий Виет особенно высоко ценил установленную им зависимость между корнями и коэффициентами уравнений.

Для приведенного квадратного уравнения справедлива тео рема, обратная теореме Виета: если числа т и п таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх + q = О. Доказательство

Пусть х 2 + рх + q = о – приведенное квадратное уравнение, а числа m и n такие, что m+n=-p и mn=q. Подставив в это уравнение вместо p равное ему число –(m+n), вместо q равное ему число mn, получим равносильное ему уравнение: x 2 -(m+n)x+mn=0 Преобразуем левую часть уравнения: x 2 -mx-nx+mn=0; x(x-m)-n(x-m)=0; (x-m)(x-n)=0.

Отсюда получаем: x-m=0 или x-n=0, x 1 =m, x 2 =n. Значит, числа m и n являются корнями уравнения: x 2 +px+q=0. ---Для не приведенного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 теорема, обратная теореме Виета, формулируется так: -если числа m и n таковы, что и, то эти числа являются корнями уравнения ax 2 +bx+c=0.

Выражение с двумя переменными называется симметрическим относительно этих переменных, если при перестановки этих переменных получается тождественно равное ему выражение. Пример

Рассмотрим выражения с двумя переменными: а b и b а, Если в каждом из них переставим переменные, т.е. всюду вместо а поставим b и вместо и вместо b поставим а, то получим тождественно равные им выражения:

1) Определение Определение 2) Теорема Теорема 3) Доказательство Доказательство

Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю. х = 2 При х = 2 квадратный трехчлен 3x 2 -7x+2 обращается в нуль.

Если x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то ax 2 + bx + c = a(x - x 1 )(x - x 2 ). Доказательство

Корни x 1 и x 2 квадратного трехчлена ax 2 +bx+c являются корнями квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0. Применяя теорему Виета, получим: Отсюда

Подставим получившиеся выражения вместо b и c в квадратный трехчлен и выполним преобразования: Значит Доказанная теорема позволяет, найдя корни квадратного трехчлена, записать его в виде произведения первого коэффициента, разности переменной и одного корня и разности переменной и другого коня. Теорема доказана