d > r a - прямая d < r c - секущая Взаимное расположение прямой и окружности d = r b - касательная А – точка касания d – расстояние от центра окружности до прямой. A B c d dc r db b d r A r d a a d r

O R S C M K F T A D B Q N X Назови: радиус, диаметр, хорду, касательную, секущую

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Дано: Окр.(О;r), р – касательная, А – точка касания. Доказать: р ОА. Доказательство: А – точка касания, О – центр окружности, значит, ОА – радиус. Пусть касательная р не перпендикулярна ОА, тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Тогда перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, т. е. расстояние от центра окружности меньше радиуса. Значит, прямая р и окружность будут иметь две общих точки, но это противоречит условию: р – касательная, т. е. она имеет с окружностью одну общую точку. Следовательно, предположение, что р не перпендикулярна ОА неверно. Значит, р ОА. р A r Касательная к окружности Определение. Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. О

Определи вид треугольника АВС. Дано: АВ – касательная, ВС – диаметр. А В С

тест 1.Сколько касательных можно провести через данную точку на окружности ? а) одну; б) две; в) бесконечно много. 2. Сколько касательных можно провести через точку, не лежащую на окружности ? а б.

3. Сколько окружностей можно провести, касающихся данной прямой ? в тест

4. Сколько окружностей можно провести, касающихся данной прямой в данной точке ? в а) одну; б) две; в) бесконечно много. тест

5. Сколько окружностей данного радиуса можно провести, касающихся данной прямой в данной точке ? а) одну; б) две; в) бесконечно много. б тест

Реши задачи b r A C D O 1. Доказать: ОС = ОD. A O M K Дано: Окр.(О;3см), МК – касательная, ОМ = ОК = 5см. Найти: МК. 2.

Важное свойство Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Дано: Окр.(О; r), АВ и АС – касательные. Доказать: АВ = АС, ОАВ = ОАС. Дополнительные свойства: 2. ОА ВС. К 3. СК = ВК. 1. АО – биссектриса ВАС. A r r В С О A r r В С О

Реши задачу A r r О Найти ВАС, если ОА = 2r. В С 60 0

Реши задачу А В С Н Дано: АВ, АН, АС – касательные. Сравнить отрезки АВ и АС. АВ = АС

Реши задачу A C M B K O O1O1 Доказать: АВ = СК, М є ОО 1

Реши задачу Доказать: АМ = ВЕ, С ОО 1 є С А В М Е О О1О1

Реши задачу A B C K В каком отношении делит точка К отрезок АВ ? 1 : 1

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. (теорема, обратная к свойству касательной) Признак касательной Дано: Окр.(О; r), ОА = r, АВ ОА. Доказать: АВ – касательная. Доказательство: По условию ОА = r, ОА АВ, значит, расстояние от центра окружности равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. По определению касательной и будет прямая АВ. r A В О

Реши задачу А В С М Н К О Доказать, что все стороны треугольника КНМ касаются окружности.

Михайлова Л. П. ГОУ ЦО 173.