Два уравнения f (x)= g (x) и f (x)= g (x) называются равносильными, если множества их корней совпадают. Уравнения f (x)= g (x) называется следствием уравнения f (x)= g (x), если каждый корень уравнения f (x)= g (x) является одновременно и корнем уравнения f (x)= g (x). Если 2 уравнения равносильны, то можно сказать так: каждое из них является следствием другого.

Процесс преобразования любого уравнения можно записать так: (1)(2)(3)(4)… Это значит, что заданное уравнение (1) преобразуют в уравнение (2) более простое и т.д. по цепочке. В этот момент и возникает главный вопрос: а будут ли найденные корни корнями исходного уравнения? Ответ на поставленный вопрос неопределён: может быть и да и нет? Чтобы ответ на поставленный вопрос был определённым, надо найденные корни последнего уравнения проверить, подставив их поочерёдное в заданное уравнение (1). Если такая подстановка показывает, что найденный корень последнего уравнения не удовлетворяет исходному уравнению, он называется ПОСТОРОННИМ и отбрасывается.

Решения уравнения осуществляется по следующему плану: 1)Техническая часть, т.е. осуществление цепочки превращений по схеме: (1)(2)(3)(4)… и отыскивание корней последнего (самого простого) уравнения этой цепочки. 2)Анализ решения, т.е. получение ответа на вопрос: всё ли преобразования были равносильными? 3)Проверка найденных корней последнего уравнения цепочки их подстановкой в исходное уравнение в случае, если анализ, проведённый на 2-м шаге, покажет, что на все преобразования были равносильными.

При осуществлении данного плана возникают 4 вопроса: 1) Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием? 2) В каких случаях в результате преобразований мы переходим от уравнения к уравнению-следствию? 3) Как делать проверку, если это сопряжено со значительными вычислительными трудностями? 4) В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти «потеря корней» и как этого не допустить?

Начнем с 1 вопроса. Есть 3 теоремы – назовём их «спокойные», которые всегда «работают» и не причиняют тем, кто их используют, никаких неприятностей. Т1: Если какой-нибудь член, уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным равносильное данному a+b=c+d; a+b-c=d. Т2: Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение равносильное данному. f (x)=g (x); (f (x))² ¹=(g (x))² ¹ Т3: Уравнение a =a, где a0, a1 равносильно уравнению f(x)=g(x).

И есть 3 «беспокойные» теоремы, которые выполняются только в определенных условиях, и поэтому требуют внимания от тех, кто их применяет. Т4: Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение b(x), которое: А) имеет смысл всюду в области определения уравнения f(x)=g(x). Б) нигде в этой области не превращается b 0, то получится уравнение f(x)b(x)=g(x)b(x), равносильное данному. СЛЕДСТВИЕ ИЗ Т4: Ещё одно «спокойное» преобразование: если обе части уравнения умножить на одно и то же отличное от нуля число c, то получится уравнение равносильное данному. Т5: Если обе части уравнения f(x)=g(x) неотрицательны в О.О.У., то после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, получится уравнение (f(x))=(g(x)), равносильное данному.

Теперь мы можем ответить на 2 вопроса: если в процессе решения уравнения применялась одна из теорем-4 или 5, не проверив выполненных в формулировках теорем, то получится уравнение - следствие. Например, уравнение x-1=3 имеет 1 корень 4. Умножив обе его части на (x-2), получим уравнение- следствие (x-1)(x-2)=3(x-2), имеющие 2 корня: 4 и 2, причем 2-посторонний корень для уравнение x-1=3. Подведём промежуточный итог: