В 10В 11С 4 приложения выход Распределение заданий по основным блокам содержании школьного курса математики Блоки содержания Число заданий Максимальный первичный балл Процент максимального первичного балла за задания данного блока содержания от максимального первичного балла за всю работу, равного 37 Выражения и преобразования 5513% Уравнения и неравенства % Функции8924% Числа и вычисления113% Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин 4719% Итого %

в начало выход * B 10 Концы отрезка МК лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Угол между прямой МК и плоскостью основания цилиндра равен 30°. МК = 8, площадь боковой поверхности цилиндра равна 40π. Найдите периметр осевого сечения цилиндра РЕШЕНИЕ OC высота цилиндра, R его радиус.

условие 2009 Из точки М опустим перпендикуляр на второе основание цилиндра в точку N. Угол MKN является углом наклона МК к плоскости основания цилиндра. OC=MN=MK:2=4 S бок.пов. = 2πR*OC=40π R=5 P ос.сеч. = 4R+2OC P ос.сеч. = 28 Ответ: 28

в начало выход * B 11* B 11 Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9. а радиус вписанной в нее окружности равен 4. Найдите большее основание трапеции. MN средняя линия прямоугольной трапеции ABCD. О – центр вписанной окружности. ОЕ радиус, проведённый к боковой стороне трапеции. РЕШЕНИЕ 2009

Проведём высоту трапеции BF. Треугольники BFC и OEN подобны (прямоугольные с равными углами N и C). Составим пропорцию BC:ON = BF:OE. BC=5*8:4=10 FC найдём с помощью теоремы Пифагора. FC=6. 2*MN=2*DF+FC. 2DF=12 DF=6 DC = 12 Ответ: условие

в начало выход * С 4 Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания АВС пирамиды. Точка М лежит на ребре AB так, что AM :MB =1:3. Точка Т лежит на прямой AF и равноудалена от точек М и B. Объем пирамиды TВCM равен 5/64. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды FABC. РЕШЕНИЕ

Пусть О – центр сферы радиуса R, описанной около пирамиды FABC. Так как ОА = ОВ = ОС = OF = R, а О АВС, то точка О является также центром окружности радиуса R, описанной около треугольника АВС. Треугольник АВС – правильный, следовательно, О – точка пересечения медиан треугольника АВС, AB =R. условие

условие FABC - правильная пирамида, поэтому FO - высота пирамиды и AF0 ABC. По условию T AF и ТМ = ТВ. Опустим из точки Т перпендикуляр ТН на прямую АО. Так как AFO ABC, то ТН ABC, и следовательно, ТН – высота пирамиды ТВСМ, а отрезки НМ и НВ – проекции равных наклонных ТМ и ТВ. Значит, НМ = НВ, и поэтому треугольник ВНМ - равнобедренный, а его высота НР является медианой, то есть РМ = РВ

условие Объем V пирамиды ТВСМ, равный ТН S BCM, выразим через R. Из условия имеем, MB =, MP =. Отсюда АР =. В прямоугольном треугольнике АРН угол А равен 30°, следовательно, АН =. Так как OA = OF, то прямоугольный треугольник AOF – равнобедренный, поэтому в прямоугольном треугольнике АТН угол А равен 45°, следовательно, АН = ТН. Медиана CN правильного треугольника АВС является его высотой. Поэтому CN - высота треугольника ВСМ. Следовательно,

условие площадь треугольника ВСМ можно найти по формуле S BCM = 0,5CN·BM. Имеем CN= СО = и S BCM =. Отсюда в начало

в начало выход * С 4 В основании первой пирамиды DABC лежит треугольник АВС, в котором С = 45º, ВС =42, АС =16. Боковое ребро AD перпендикулярно плоскости основании пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра DB параллельно прямым ВС и AD, является основанием второй пирамиды. Её вершина T – основание высоты BT треугольника АВС. Во сколько раз объём первой пирамиды больше объёма второй пирамиды? РЕШЕНИЕ

Объём пирамиды DABC V1 =, V1 =. Условие построения основания второй пирамиды – плоскость сечения перпендикулярна плоскости основания и проходит через середину ребра DB. Значит MN перпендикулярен плоскости АВС и N середина АВ. Аналогично т. к. PK тоже параллелен AD и перпендикулярен плоскости АВС и К середина АС. NК – средняя линия треугольника АВС. условие

Аналогично рассуждая получим, что основание пирамиды прямоугольник MNKP со сторонами KP = 0,5AD и NK = 0,5BC. Для нахождения объёма пирамиды необходимо найти высоту этой пирамиды и площадь основания. S основания равна 0,5AD*0,5BC=0,25AD*42 = = AD2. Найдём теперь высоту. Необходимо найти расстояние от основания высоты точки T до средней линии треугольника.

условие Вынесем часть рисунка. Нужно найти расстояние TR. TB = TС т.к. треуг. BTC прямоугольный с острым углом С = 45 градусов. Найдём TC. 2(TC) 2 = 16*2 => TC = 4. AK = KC = = 16:2 = 8 => KT = 8 – 4 = 4. Аналогично KT = TL = 4 => KL =. KR =22 => TR =22. V2 = V1 = V1:V2 = 8. Ответ 8. в начало

выход приложения Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин Признаки равенства и подобия треугольников. Решение треугольников Площадь треугольника.равенстваподобия Решение треугольников Площадь треугольника. Многоугольники. Окружность. Векторы. Многогранники. Призма. Пирамида. Правильные многогранники. Сечение плоскостью. Площадь боковой и полной поверхности. Объем Тела вращения.

в начало приложения Признаки подобия треугольников. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

в начало Признаки равенства треугольников. приложения Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

в начало выход