Моделирование ЭМС с применением определителя Вандермонда

Математическое моделирование в пространстве состояний При математическом моделировании систем управления, электромеханических, энергетических и других технических систем, наибольшее внимание уделяется моделям, которые отражали бы переходные процессы в системе. В современной теории управления широкое применение получили модели пространства состояний.

Свойства динамической системы, описываемые моделями пространства состояний во многом определяются свойствами матрицы состояний (параметров) А. Для перехода к основным понятиям, связанным с матрицей состояния, рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с нулевыми начальными условиями х(0) и константой а :

Решение уравнения В общем виде решение уравнения получают разделяя переменные и осуществив интегрирование в определенных пределах в следующем виде:

Для автономного стационарного объекта процессы описываются матричным уравнением состояния вида: где А – матрица состояния размерности n×n; Х –вектор состояния. По аналогии с решением дифференциального уравнения первого порядка можно записать:

где X(0) – вектор начальных условий. Матричную функцию Ф(t) = e At называют фундаментальной или переходной матрицей системы. Тогда решение можно записать в виде:

Для систем с одним входом и одним выходом уравнения состояния и наблюдения определяются выражениями решение, которых записывают в виде суммы составляющих: X(t) = Ф(t)·X(0) + F(t), (1) Y(t) = C Ф(t)·X(0) +G(t), (2)

Анализ решения Здесь первые составляющие есть собственное решение системы (свободные составляющие), а вторые составляющие – вынужденные решения, обусловленные действием входного воздействия. Как следует из уравнений (1 - 2), фундаментальная матрица и ее вычисление является ключом к нахождению временных характеристик. Существуют различные подходы для ее вычислений.

Определитель Вандермонда К ним относится метод получение матричной функции e At, основанный на теореме разложения функции от матрицы, а именно разложение фундаментальной матрицы в ряд:

где D – определитель Вандермонда: λ1, λ2,…λn – собственные значения матрицы А ; D1 – определитель, получаемый из D заменой элементов 1-й строки на f(λ1), f(λ2)…, f(λn).

Характеристическое уравнение Свойства автономной динамической системы, представленной матричными дифференциальными уравнениями состояния, определяются характеристическим уравнением корни которого совпадают с собственными значениями матрицы А.

их определяют из выражения

Временные характеристики Временные характеристики системы F(t) и G(t) определяют как реакцию системы на управляющее воздействие в виде единичной функции или единичного импульса при нулевых начальных условиях, т. е. Х(0) = 0. При единичном ступенчатом воздействии, их находят в виде:

F(t) = (e At – I)A -1 B; G(t) = C (e At – I)A -1 B+D

Анализ динамики RLC-ФНЧ 2-го порядка методом Вандермонда Воспользуемся методом Вандермонда для решения системы дифференциальных уравнений, описывающих процессы в схеме коммутации ФНЧ 2-го порядка при подключении его к источнику постоянного напряжения

Схема коммутации ФНЧ 2-го порядка

СДУ, описывающая процессы в фильтре

Матричная форма СДУ

Характеристическое уравнение

Рассмотрим случай комплексно сопряженных корней

Запишем полный и частные определители Вандермонда.

Определим детерминанты определителей

Находим отношение детерминантов определителей

Запишем матричную функцию Где E – единичная матрица. Определим временные характеристики i(t) и U C (t) :

Вывод Решение, полученное с помощью метода определителей Вандермонда, полностью совпадает с решениями, найденными классическим и операторным методами. Прошу провести самостоятельную проверку. Проведите выводы уравнений!?

Математическое моделирование электродвигателя постоянного тока в пространстве состояний Двигатель постоянного тока при определенных соотношениях постоянных времени T M и T ЭМ можно представить, как исполнительный элемент системы, в виде колебательного звена. Для такого звена схема замещения имеет следующий вид:

Схема замещения

Уравнения состояний для данной схемы можно записать в виде:

где в соответствии со второй системой электромеханических аналогий уравнений Лагранжа - Максвелла напряжение на емкостном элементе аналогично скорости движения координаты механизма, а ток моменту (силе при линейном перемещении). Тогда решение данной системы уравнений с использованием системы MathGAD можно представить следующим образом.

Исходные данные: Формирование матриц

Определение корней характеристического уравнения с использованием символьных преобразований и встроенной функции polyroots математической системы MathGAD

Формируем определители Вандермонда, его производных и составляющих матричной функции e At :

Определяем матричную функцию

Определяем временные характеристик i L (t) и u C (t):

Переходные характеристики двигателя постоянного тока