МБОУ СОШ 3 имени Тази Гиззата г.Агрыз Агрызского муниципального района Республики Татарстан Мастер – класс Решение одной задачи различными способами(нахождение угла между плоскостями) (разбор задания С2 на ЕГЭ по математике 2012 г.) Автор: Зарипова Рамзия Мухаметовна, учитель математики

В задание С 2 ЕГЭ по математике 2012 года была предложена задача на нахождение угла между плоскостями, которая решается различными способами, три из которых я предлагаю вам. На уроках обобщения и повторения программного материала по геометрии следует ознакомить учащихся с решениями этой задачи и показать, что это можно и надо решать.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1: 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1. oEoE AB C D AB C D

А В С D А В С D oЕoЕ FH ТТ DEAD=F (BED)(ABC)=FB АH FB, ЕH FB, ے ЕHА – искомый. FA=1(из подобия FAE и FDD), FB=5(из прямоугольногоFAB). пусть HB=x, АH²+HB²=AB², AH²+FH²=FA², h²+x²=4, h²+(5 - x)²=1, h=АH=2/5. tg(ЕHА)=1: 2/5=5/2. ے ЕHА=arctg(5/2).t(5/2). Ответ: arctg(5/2) В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1: 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, боковые рёбрВ правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмеченаВ правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1: 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1. точка E так, что AE : EA1 = 1: 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1. а равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1: 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1: 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1. F H B C A D A D C B E

Уравнение плоскости aх + bу + cz + d = 1, разделим уравнение на d, получим, или Ах + Ву + Cz + 1 = 0, где коэффициенты А,В,С – координаты нормали плоскости. Угол между плоскостями находим как угол между нормалями этих плоскостей, т.е. угол между векторами.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1: 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1. Решение: A(0;0;0),A(0;0;3), B(2;0;0), E(0;0;1), D(0;2;3) n (ABC)=AA{0;0;3}, m (BED)={A;B;C}, где Ах + Ву + Cz + 1 = 0 – уравнение плоскости ВЕD. 2A+1=0, A = - 1/2, C+1=0, C = - 1, 2B+3C+1=0, B = 1, m{-1/2; 1; - 1}. сosϕ=-3/(3*3/2)= - 2/3, sinϕ=(1-4/9)=5/3, tgϕ= 5/2, ے DHD=arctg(5/2). Ответ: arctg(5/2) A B C D A DC B oEoE z x y

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1: 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1. А В С D A B C D E z x y

АB C D A D C B oEoE

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 5. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 3: 2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1. DEAD=F (BED)(ABC)=FB АH FB, ЕH FB, ے ЕHА – искомый. FA=3, FB=13, пусть HB=x, АH²+HB²=AB², AH²+FH²=FA², h²+x²=4, h²+(13 - x)²=9, h=АH=6/13. tg(ЕHА)=3: 6/13=13/2. ے ЕHА=arctg(13/2). Ответ: arctg(13/2) А В С D A D C B oEoE oMoM F H

Группа 1: Как линейный угол двугранного угла. Т.к. С О и А О – перпендикуляры к ВD, то угол между ними находим по теореме косинусов из А ОС : А С ² = А О²+С О² - 2А О*С О*cos ϕ, С О² = СС ² + ОС², С О² = А О² = А С = а 2. Тогда cos ϕ = 1/3. Ответ: cos ϕ = 1/3.

Группа 2 z x y Метод координат. Выберем систему координат как на рисунке: Т.к. А С и АС - перпендикуляры к плоскостям, то находим угол между прямыми А С и АС. А(0;а;0), А (0;а;а),С(а;0;0), С (а;0;а). АС {a;-a; a}, A C {a;-a;-a}. Ответ: cos ϕ =1/3.

Группа 3 О К Угол между плоскостью и её ортогональной проекцией. S(BDK) = S(A BD)*cos ϕ KO=1/3*OC =a/6, BD=a2, S(BDK)=(a²3)/6; S(A BD)=(a²3)/2. Cos ϕ = S(BDK)/ S(A BD)=1/3. Ответ: cos ϕ =1/3.