Задания В4 из Открытого банка заданий 2011 Презентация выполнена учителем математики МОУ «СОШ6» п.Передового Ставропольского края Богдановской Валентиной Михайловной 2011

Около окружности, радиус которой равен 8, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. 8 АВ = 28 = а Т.к. R = a /2 R = AC/2, АС можно найти из АСВ по теореме Пифагора, зная стороны квадрата Ответ:

Ответ: Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1. Т.к. центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее длина равна 5, то R = 2,5 2,

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 2. r = ОМ, т.к. ОМ перпендикуляр к CD Ответ: О М К Из ОМК найдем гипотенузу ОМ по теореме Пифагора ОМ = 2 = r

Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1. К Треугольник АВС равнобедренный. ВК – медиана и высота. Т.к. О- центр окружности является точкой пересечения медиан, то R = 2 Ответ:

Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите r10. АВ найдем из треугольника АВК по т. Пифагора. АВ = 10 r = 0,5 10 К Ответ:

В четырехугольник ABCD вписана окружность, АВ=10, CD=16. Найдите периметр четырехугольника. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. AB+CD= 26 P = 26*2 = 52 Ответ:

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника M N O K Т.к. OM и ON –радиусы, проведенные в точку касания, то ˂MNO = ˂OKM = 90°, значит треугольники MNO и MKO равны по катету и гипотенузе, MK=MN, так же KP = PS, значит MP = MN+PS. Аналогично для треугольников с периметрами 10 и 8. Т.о. периметр данного треугольника равен сумме исходных периметров, т.е. 24 P R S Ответ: 2 4

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности. К СК – медиана, биссектриса, высота треугольника. Из АСК по т.Пифагора найдем высоту СК. СК = 4, S = ½*AB*CK = 12, P = 16, r = 2S:P = 24:16 = 1, Ответ: 1, 5 S = Pr:2

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. DC+AB = 8 Таким образом MN = 4 MN Пусть MN – средняя линия трапеции, МN = ½(DC+AB) АD+CB = 8 Ответ:

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности. P = 72, значит a = 12, т.к. R = a = 12 D = 2R = 24 Ответ: 2 4 a R 27929

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54°. Найдите n А В С ˂ А = 180° - 54°*2 = 72° АВ = АС = R ABC равнобедренный n = 360° : 72° = 5 Ответ: 5

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите. К Ответ: СК – медиана биссектриса, высота равнобедренного треугольника АВС. ОК = ОР = ОМ = r = 2 О М Р АС – касательная, СК - секущаяСР² = СН*СК, т.к. СН = СК-4, то 2² = (СК-4)*СК, СК = 2(1+2) Н Т.к. треугольник АКС равнобедренный (˂КАС = ˂АСК=45°), то КС = АК АВ = 2АК = 4 (1+2) 4

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции Т.к., то DC+AB = 10 AD + CB = P – 10 = 12 Т.к. в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то ABCD – равнобедренная трапеция. AD = 6 Ответ: 6

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции. 60° 12 MN Ответ: ˂BCN= 30° Обозначив СВ = х и, учитывая свойство катета, лежащего напротив угла 30°, составим и решим уравнение: х+0,5 х+0.5 х = 12, х = 6. О Т.к. OM = OD = OC = OB =6. R = 6 6

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, значит углы 82° и 58° соседние (А и В). ˂В= 58°, значит ˂D=180°-58°=122° Ответ: ° 58°

Углы A,B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах A B C D В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, значит ˂А + ˂С = 180°, таким образом ˂А =180° : (1+3) = 45° ˂В = 2*45° = 90° Ответ: ˂D = 90° 9 0

Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах Ответ: D По условию задачи треугольник АВD равносторонний, Т.к ˂ADB – центральный, а ˂АСВ – вписанный, но опирающийся на ту же дугу, то его величина составляет 30° 3 0 ˂ADB = 60°

Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника Ответ: О ˂ACB – вписанный, значит дуга на которую он опирается равна 300° Величина дуги АСВ, а значит и центрального ˂АОВ = 60°, а т.к. АО = ОВ = R, то треугольник АОВ равносторонний, R = 1` 1

Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах Ответ: O Т.к. АО = ОВ = АВ, то треугольник АОВ равносторонний, значит ˂ АОВ = 60° Величина дуги АСВ равна 60°, величина оставшейся дуги 360° - 60° =300°, Вписанный ˂С равен половине дуги, на которую он опирается, т.е. ˂С =150° 1 5 0

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32. Ответ: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, значит AD+CB = DC+AB,т.е. х+3 х = 32-4 х х = 4 DC = 32- AB-AD-BC = = 8 8

Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите R CB = 20 (используя т.Пифагора). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы, значит R =CB:2, R = 25/2 = 5 Ответ:

Используемые источники