Системы счисления

Цели и задачи урока: познакомиться с историей возникновения и развития систем счисления; выявить основные недостатки и преимущества непозиционных систем счисления; сформировать понятие «позиционные системы счисления».

«Все есть число» Так говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. А что для нас сейчас число? Где мы встречаемся с числами?

Цифры это символы, участвующие в записи числа и составляющие некоторый алфавит. А что же такое число? Любое число обладает двумя свойствами: Значением; Формой представления.

Первоначально число было привязано к тем предметам, которые пересчитывались. Но с появлением письменности число отделилось от предметов пересчета и появилось понятие натурального числа. Дробные числа появились в связи с тем, что человеку потребовалось что-то измерять и единица измерения (эталон) не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Число - это некоторая величина.

Система счисления это способ записи чисел с помощью цифр. Системы счисления Позиционные ССНепозиционные СС Какие по Вашему мнению системы счисления возникли раньше позиционные или непозиционные? Почему?

Непозиционные системы счисления

Единичная система счисления. В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине, дереве. Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тысяч лет до н.э.). Ученые назвали этот способ записи чисел единичной или унарной системой счисления. Какие недостатки можно выявить в использовании единичной системы счисления? Используется ли она в наши дни?

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления Древнеегипетская десятичная непозиционная система возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание. В этой системе счисления использовали в качестве цифр ключевые числа 1, 10,100, 1000 и т.д. и записывались они при помощи специальных иероглифов, каждый из которых повторялся не более десяти раз.

два цветка лотоса (две тысячи); три свернутых пальмовых листа (три сотни); четыре дуги (четыре десятка); два шеста (две единицы). Задание 1: Запишите число 2346 используя алфавит древнеегипетской СС

Римская система счисления Для обозначения чисел используются знаки: I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, для чисел 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы соответствующих латинских слов L – 50, С (Centum) 100, D (Demimille половина тысячи) -500, M (Millе - тысяча) – Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр».

Правила составления чисел в римской системе счисления: Число равно: сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида); разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения большей «цифры» отнимается значение меньшей «цифры». сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример: Записать число 444 в римской системе счисления (D-C) (L-X) (V-I) группы второго вида CDXLIV

Задание 2. Записать число 1986 в римской системе счисления M + (M-C) + L + (X + X + X) + V + I группа второго первого вида вида отдельные «цифры» MCMLXXXVI

Физкульт-break Выполним движения снимающие напряжение с позвоночника. 1. И.п. – голова прямо. Медленно подбородок поднимаем вверх, затем опускаем вниз (8 повторов). 2. И.п. – голова прямо. Медленно поворачиваем голову направо и налево (8 повторов). 3. И.п. – голова прямо. Медленно наклоняем голову вправо и влево (8 повторов). 4. И.п. – плечи прямые. Медленно поднимаем и опускаем плечи. 5. И.п. – руки за головой, спина прямая. Выполняем наклон влево и опускаем правую руку вниз. И.п. Выполняем наклон вправо опускаем левую руку вниз. Минута релаксации. Закройте глаза и мысленно переместитесь в Древнюю Русь с ее степными просторами или в солнечную Грецию, где можно погреться на солнышке. Представьте себя в этой замечательной обстановке. Досчитайте до пяти и возвращайтесь в класс.

Алфавитные системы Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились: славянская, ионийская (греческая), финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

Славянская система счисления До конца XVII века (до реформы Петра I) в ней в качестве «цифр» использовали 27 букв кириллицы. Чтобы отличать буквы от цифр над буквами ставился специальный знак титло. Это делалось для того, чтобы отличить числа от обычных слов:

Правила записи чисел в славянской СС числа от 11 (один на десять) до 19 (девять на десять) записывали так же, как говорили, то есть «цифру» - единиц ставили до «цифры» десятков. Если число не содержало десятков, то «цифру» десятков не писали. Для записи чисел больше 1000 использовали специальный знак. Так, например, числа 1000, 2000, записывали теми же «цифрами», что и 1, 2, 3..., только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак*.

Число обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком. Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу». 10 тем, или , было единицей высшего разряда. Ее называли «легион». 10 легионов составляли «леорд». Самая большая из величин, имеющих свое обозначение, называлась «колода», она равнялась 10 леордам. Считалось, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».

Задание 3: Записать числа в славянской системе счисления. 23 = 444 =

Задание 4 Какие числа записаны с помощью римских цифр: MMIV, LXV, CMLXIIV? Задание 5 Запишите число 555: А) в древнеегипетской системе счисления; Б) в римской системе счисления; В) в древнеславянской системе счисления.

Задание 6 Некоторые римские цифры легко изобразить с помощью палочек. Исправьте неверные равенства, переложив с одного места на другое только одну палочку. VII-V=XI IX-V = VI VI I = III VIII-III = X Задание 7 Заполните последний столбец таблицы 1.

Переход от непозиционных систем счисления к позиционным Каковы недостатки непозиционных систем счисления?

Индийская мультипликативная система Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью. Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию? Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к истории о древнем Китае, Индии, и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе. Пусть Х – десятки, а Y – сотни, тогда 323 = 3Y2X3, 100 = 1Y

Десятичная система счисления Современная десятичная система счисления возникла приблизительно в V веке н.э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможно после величайшего открытия цифры «0» для обозначения отсутствующей величины. В современной десятичной системе счисления используются 10 арабских цифр. Почему мы называем наши цифры арабскими? С возникшей в Индии десятичной системой счисления первыми познакомились арабы. Они по достоинству ее оценили и начали использовать при расчетах в торговых операциях. Именно арабы завезли эту систему счисления в Европу. С начала XII века эта десятичная система счисления получила распространение по всей Европе под названием арабской. Будучи проще и удобнее остальных систем, она достаточно быстро вытеснила все другие способы записи чисел. С тех пор цифры, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления, называются арабскими.

Позиционные системы счисления Позиционной называется такая система счисления, к которой количественный эквивалент («вес») цифры зависит то ее местоположения в записи числа.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления: Простота выполнения арифметических операций. Ограниченное количество символов, необходимых для записи числа.

Способы физического представления десятичных чисел: Счеты; Кодовый замок (нескольких колес, каждое из которых может фиксироваться в одном из десяти возможных положений); Перфокарта, в каждой из вертикальных колонок которой может пробиваться отверстие на одном из десяти уровней по высоте, и т.п. Общим для всех представлений является то, что некоторый физический носитель состоит из некоторого числа n однородных элементов (проволок с костяшками, колес, вертикальных колонок), каждый из которых может находиться в одном из десяти состояний.

В позиционных системах счисления: Разряд это позиция цифры в числе. Основание (базис) позиционной системы счисления это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Задание 8 Заполните таблицу 2. Обведите в рамку системы счисления используемые в ЭВМ. - Как кодируется информация в компьютере?

Физкульт-break Выполним упражнения для глаз. 1. Зажмурьте глаза на 10 с. 2. Быстро поморгайте в течение 5-10 с. 3. Сделайте круговые движения глазами в одну и в другую сторону (8 повторов). 4. Поменяйте фокус, для этого смотрите сначала на какую-либо точку вблизи, а потом вдаль (8 повторов). 5. Закройте глаза, досчитайте до пяти и затем откройте. Продолжаем работать.

Развернутая форма записи числа.

Решение задач

1 Сравните числа: А)5 10 и 5 8. Б) и Запишите в развернутом виде следующие числа: А) А 10 = 3457,78; Б) А 5 = 231,44; В) А 16 = Е23С,1А; Г) А 2 = 11001,101.

3 Запишите в свернутой форме следующие числа: А) А 16 = A*16 1 +l* * *16 -2 ; Б) А 10 = 9* * * * Было 100 q яблок. После того как каждое разрезали пополам, стало 1000 q половинок. В какой системе счисления вели счет?

Цели и задачи урока: познакомиться с историей возникновения и развития систем счисления; выявить основные недостатки и преимущества непозиционных систем счисления; сформировать понятие «позиционные системы счисления».

Домашнее задание Учебник стр Выучить основные определения. Знать развернутую форму записи числа. Упражнения Запишите первые 15 чисел в троичной, пятеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Запишите в развернутой форме следующие числа: 7465, ; 2345,21 6 ; ACF3,B 16. В саду 100 q плодовых кустарников, из них 33 куста малины, 22 куста смородины красной, 16 кустов черной смородины и 17 кустов крыжовника. В какой системе счисления подсчитаны деревья?