Построение золотого сечения

У понятия « золотое сечение » есть два смысла математический и эстетический. Они тесно связаны между собой. Эстетический смысл золотого сечения заключается в том, что наиболее сильное впечатление на зрителя оказывают предметы искусства с гармоничным соотношением целого и частей. Математика придает этому соотношению числовое значение. Правилом золотого сечения пользовались еще античные скульпторы и архитекторы. Расчеты приписываются Пифагору

Строим золотое сечение На практике золотое сечение можно получить геометрическими построениями или алгебраическими вычислениями. Вначале немного геометрии для работы это может и не пригодится, зато наглядно пояснит суть пропорции. Говорят, что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если АС : СВ = CB : АВ ( рис. 1). Мы видим такое деление отрезка на неравные части, при котором большая часть относится к целому, как меньшая к большей. Золотое сечение еще называют делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Золотой треугольник Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер ( ). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму

Пятиконечной звезде около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из Древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья а также тайным опознавательном знаком. В средние века пентаграмма " предохраняла " от " нечистой силы ", что, впрочем, не мешало называть ее " лапой ведьмы ". Вавилонии Пифагор жизни пентаграмма ведьмы Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Чем же объясняется такая популярность звездчатого пятиугольника ? Тем, что совершенная форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции. Красота формы пентаграммы, вытекающая из внутренней красоты ее математического строения, была замечена еще Пифагором и с тех пор не устает радовать глаз художника и разум математика разум Пифагором разум математика.

Второе золотое сечение Болгарский журнал « Отечество » (10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова - Карандаша « О втором золотом сечении », которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата. Рис. 3. Построение второго золотого сечения Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр С D. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АС D делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44. Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника. Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0, Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям. Свойства золотого сечения описываются уравнением : x 2 – x – 1 = 0.

В наше время у золотого сечения найдено множество применений в искусстве, в живописи, в скульптуре и во многих других направлениях.