лекция 2 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности – Медицинская кибернетика к.б.н., доцент Попельницкая И.М. Красноярск, 2014 Тема: Теория пределов Кафедра медицинской и биологической физики

План лекции 1. Актуальность темы 2. Предел функции. 3. Бесконечно малые функции. 4. Основные теоремы о пределах. 5. Приемы вычисления пределов. 6. Первый и второй замечательные пределы. 7. Натуральные логарифмы.

Актуальность темы Теория пределов позволяет более глубоко изучить различные функциональные зависимости, используется при изучении производных и при введении понятия определенного интеграла

Предел функции Число А называется пределом функции f(x) в точке х 0, если для любого числа, найдется такое положительное число δ, что для любого х х 0, удовлетворяющему неравенству : выполняется соотношение

То, что функция f(x) в точке х 0 имеет предел равный А обозначается следующим образом:

Геометрическая иллюстрация определения предела функции при x f(x)f(x) A A–ε 0 x0–δx0–δ x0x0 x0+δx0+δ A+ε y x y = f(x)

Бесконечно малые функции Функция f(x) называется бесконечно малой при, если или для всех х, для которых

Пример Рассмотрим функцию при

Сравнение БМФ Определение 1. Две БМФ α 1 (x) и α 2 (x) называются эквивалентными при xx 0, если выполняется условие: Определение 2. Если для двух БМФ α 1 (x) и α 2 (x) выполняется условие: где с 0, с 1, с, то говорят, что эти БМФ имеют одинаковый порядок малости. Определение 3. Если для двух БМФ α 1 (x) и α 2 (x) выполняется условие: то говорят, что α 1 (x) имеет более высокий порядок малости, чем α 2 (x).

Бесконечно большая функция (ББФ) Определение. Функция β = β (x) при x x 0 называется бесконечно большой функцией, если выполняется условие: Свойства БМФ 1. Сумма конечного числа ББФ при xx 0 является ББФ. 2. Произведение двух ББФ при xx 0 является ББФ. 3. Произведение ББФ на ограниченную функцию при xx 0 является ББФ. 4. Частное от деления ББФ на ограниченную функцию при xx 0 является ББФ.

Связь ББФ и БМФ Если α = α (x) – БМФ при x x 0, то: Если β = β (x) – ББФ при x x 0, то:

Основные теоремы о пределах Предел постоянной равен ей самой Функция f(x)не может иметь двух пределов при

Основные теоремы о пределах Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме их пределов, если эти пределы существуют

Основные теоремы о пределах Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если они существуют

Основные теоремы о пределах Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если они существуют и предел делителя отличен от нуля.

Вычисление пределов (4 х-6) = 4*х - 6 = 8-6 = 2

Вычисление пределов Х 2 -6 х+8 = (х-2)(х-4)

Вычисление пределов

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ Если f (х) стремитсяааа+– + g (х) стремитсяb+– +– – f (х) + g (х) стремитсяа + b+– +– – Если f (х) стремитсяаа 00 g (х) стремитсяb+ f (х) g (х) стремитсяаb+0 Если f (х) стремитсяаа 0 а 0 g (х) стремитсяb 0 – 0 f (х) / g (х) стремитсяа / b 000 / 0 / Пусть х стремится к х 0 или к ±

Замечательные пределы Первый замечательный: (раскрывает неопределенность 0/0) Второй замечательный: (раскрывает неопределенность )

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел. Число е. Выражение (1+1/n) n для целочисленных имеет своим пределом иррациональное число е=2,71828….

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Если находим предел алгебраического выражения и имеем неопределенность, то для раскрытия данной неопределенности используем второй замечательный предел:

Натуральные логарифмы С числом е связана система логарифмов, которая широко используется на практике. Логарифм числа х при основании е называется натуральным логарифмом.

1)sin (x) (x);2) tg (x) (x); 3)arcsin (x) (x);4) arctg (x) (x); 5)ln (1+ (x)) (x);6) (x); 7) (x)lna; 8)1- cos (x) Таблица эквивалентных БМФ при α(х)0

Заключение Нами рассмотрены основные теоремы о пределах. Изучены основные методы нахождения пределов. Рассмотрены замечательные пределы Введено понятияе натурального логарифма.

Задание для закрепления полученных знаний Вычислить предел:

Литература Обязательная 1. Богомолов Н.В. Математика. Учебник М.: Юрайт, с. 2. Богомолов Н.В. Практические занятие по математике: учеб. пособие. М.: Юрайт, с Дополнительная 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Дрофа, Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: учебное пособие. М.: Астрель, Щипачев В.С.Высшая математика. Учебник М.: Оникс Виленкин И.В.Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: учебное пособие Ростов-на-Дону Феникс 2008 Электронные ресурсы: 1. Электронная библиотека Absotheue 2. БД Медицина 3. БД Мед Арт 4. Ресурсы Интернет

Спасибо за внимание!