Работу выполнили: Ученик 11А класса Пухов Дмитрий Ученица 11А класса Калинина Екатерина

Треугольник Треугольник в евклидовой плоскости – три точки (вершины) и три отрезка прямых (стороны) с концами в этих точках. Иногда при определении треугольника к нему относят и выпуклую часть плоскости, которая ограничена сторонами треугольника.

1) Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь. 2) Эта площадь – единственная. 3) Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом. 4) Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице. 5) Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается.

S-площадь, р-полупериметр, Р-периметр, R-радиус описанной окружности, r-радиус вписанной окружности.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (S=1/2ab) В А С b a

Возьмём такую точку С 1 на плоскости АВС так, что АВСС 1 – прямоугольник. Ясно, что его площадь равна ab. Но этот прямоугольник сложен из 2-х равных прямоугольных треугольников ( АВС = АВС 1 по 2-м катетам). Тем самым, площадь АВС есть половина площади АВСС 1 т. е. 1/2 (ab), что и требовалось доказать. 1 А В С b a с 1 с 1 1 1

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную на эту сторону. S=1/2 (ah а ). C H А h В а a

Первый случай. Если точка Н лежит на стороне ВС, то: S АВС =S ВАН +S НАС =1/2(BH HA+HC AH)= =1/2 AH(BH+HC)=1/2 ah а C H А hаhа В а

Второй случай. Если точка Н лежит на продолжении стороны ВС, то S ВАН = S НАС - S =1/2 (BH AH - HC AH) = = 1/2 AH (BH-CH)=1/2ah а. H А hаhа В а C

Площадь правильного треугольника равна произведению четвертой части квадрата стороны и корня квадратного из трёх. S 3 = a a a

В правильном треугольнике каждый угол равен 60. Sin60 =h/a, т. е. h = а Sin60, значит, S= ah= а а Sin60 = а 2 = a a a h

Найти площадь треугольника, основание которого равно 625 см, а высота 2/25 см. Ответ: 25.

Площадь любого треугольника равна половине произведения смежных сторон на синус угла между ними. S=1/2 a b sinC

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике легко вытекает, что h=bsinC. Следовательно, S=1/2 ah =1/2 absinC.

Площадь треугольника равна отношению четвёртой части произведения всех сторон этого треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности. S=abc/4R

Из теоремы синусов (a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R) следует: sinC=c/2R. А подставив это выражение в формулу: S= 1/2absinC, мы и получим: S=abc/4R.

Радиус описанной около треугольника окружности равен 4 см. Найдите площадь этого треугольника, если его стороны равны 2, 8 и 16 см. Ответ: 16 см.

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр (S=pr). А В С О r H

Пусть точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности и M, N, P – точки её касания соответственно со сторонами ВС, АС, АВ. Тогда OM=ON=OP=r и все эти три радиуса перпендикулярны соответствующим сторонам. Следовательно, они являются высотами в треугольниках ВСО, АСО и АВО соответственно. Значит имеем: S=S +S +S =1/2r(AB+BC+AC)=pr. BCOABOACO О А В С Р N M

Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 5; 4,5 и 10 дм, а радиус вписанной окружности равен 2 дм. Ответ: 19,5.

Формулу Герона достаточно сложно сформулировать, но я всё же попробую: Площадь треугольника равна квадратному корню из произведений полупериметра и его разностей с каждой из сторон p(p- a)(p-b)(p-c)).

Стороны треугольника равны 5, 5 и 8 см.Найдите его площадь. Ответ: 12.

Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата стороны и синусов прилежащих углов к удвоенному синусу суммы этих углов (S=asinBsinC/2sin(B+C)). 2

Из теоремы синусов – b=asinB/sinA; теперь выразим площадь через сторону а и В, и С: S=absinC/2=asinBsinC/2sinA= =asinBsinC/2sin(180-(B+C))= =asinBsinC/2sin(B+C)

Сторона треугольника равна 4 см, а углы, прилежащие к этой стороне равны 60. Найти площадь этого треугольника. Ответ:4 3.

Существует ещё ряд формул для нахождения площади треугольников. Вообще если условия достаточно, для того, чтобы определить треугольник единственным образом, то его площадь можно найти. Вот пара таких формул: 1)S=2RsinAsinBsinC 2)S=hsinA/2sinAsinB 2 2

Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения.

Например, мы уже знаем,как можно вычислить площадь квадрата, прямоугольника и параллелограмма, а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника. Применим следующий алгоритм: 1. О тметим на одной из сторон треугольника точку, которая является серединой этой стороны. 2. П роведем через эту точку прямую, параллельную одной из сторон этого треугольника. 3. П рямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию. 4. П переставим меньший треугольник к трапеции так, чтобы получился параллелограмм.

Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равно составными фигурами, а значит и равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры - это фигуры, имеющие равные площади. Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма. Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!

Очень надеюсь, что эта информация поможет Вам решить все задачи на ЕГЭ, в которых используются знания нахождения площади треугольников, а значит и набрать как можно больше баллов. Спасибо за внимание!!!