Введение в математыческий анализ

§1 Необходимые определения О.: Функцией называется правило, по которому каждому элементу X

Некоторого множества K соответствует единственный элемент Y другого множества L.

Х – аргумент функции; У – соответствующее значение функции. Обозначается: у = f(х), у = у(х)

О.: Графиком функции y=f(x) называется множество точек плоскосты XOY для каждой из которых абсцисса X

является значением аргумента, а ордината Y – соответствующим значениям данной функции.

О.: Множество значений аргумента, при котором функция имеет смысл называется областью определения функции. И обозначается Д (у), Д (f)

О.: Множество значений «у», которые получаются по правилу у = f(х) называется областью значений функций. И обозначается: Е(у), Е(f).

Способы задания функции: 1)аналитыческий (формулы) 2)табличный 3) Графический

О.: К основным элементарным функциям относятся следующие: У = const; у = х α, α – действительное число, α 0; у = а х, где а>0, а 1; у = log a x, где а>0, а=1; у = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x;

y = arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arcctg x.

О.: Рассмотрим 2 ф-и y = f(x), u = φ(x). Область значений функции u = φ(x) является областью определения функции f, тогда функция y = f(φ/x) называется сложной ф-ей или функцией от функции

О.: Элементарной называется ф-я состоящая из основных элементарных ф-ий с помощью арифметыческих действий и операций, взятыя ф-и от ф-и применимых последовательно конечное число раз.

y = tg (sin 3 (x 2 +5)+tg ln x y = tg 3 x – 3sin x -Элементарные функции. - Неэлементарная ф-я, т.к. складываем бесконечное число элементарных ф-й.

О.: Окрестностью точки x 0 на числовой прямой называется любой интервал (a;b), содержащий эту точку. О.: Если δ() > 0, то δ – окрестностью точки х 0 называется промежуток (х 0 -δ; х 0 +δ)

О.: Внешность любого интервала (a,b)называется окрестностью бесконечносты. О.: Множество X называется ограничением сверху, если существует такое число М, что для всех x X, xM.

О.: Множество х называется ограниченным снизу, если существует число m такое, что для всех хХ, хm. О.: Множество х называется ограниченным, если существуют числа m, M такие, что для всех хХ, m х M.

§2 Предел последовательносты

О.: Последовательностью х 1,х 2,х 3,…,х n чисел называются значения функции натурального аргумента, т.е. nN, x n =f(n) 2;4;8;...;2 n ;... x n =2 n, n=1;2;...

О.: Число а называется пределом последовательносты x n, если для любого Ɛ˃ 0 существует номер N=N( Ɛ ), т.е. зависящий от Ɛ такой, что n больше N и выполняется неравенство |x n - a| меньше ˂Ɛ.

число а - предел последовательносты, если за пределами промежутка (- Ɛ +а; Ɛ +а) находится конечное число членов последовательносты, а внутри промежутка бесконечное число членов последовательносты и это выполняется для любого Ɛ.

Докажем, что пределом последовательносты 1- 1/10 n, n, является число 1. Док-во. Если 1 предел послед-ты, то для любого Ɛ˃ 0 найдется номер N=N( Ɛ ) такой, что для всех n ˃ N верно |1-1/10 n -1| ˂Ɛ.

Должны показать, что для любого Ɛ найдется номер N: - если N есть, то |1-1/10 n -1| ˂Ɛ верно. |-1/10 n | ˂Ɛ 1/10 n ˂Ɛ 10 n ˃ 1/ Ɛ lg 10 n ˃ 1/ Ɛ n lg 10 ˃ lg 1 - lg Ɛ n ˃ -lg Ɛ˃ 0

если N=[-lg Ɛ ]+1, то определение предела последовательносты выполняется, а именно: для любого Ɛ˃ 0 существует номер N =[-lg Ɛ ]+1 такой, что для всех n ˃ N верно, что |x n -a| ˂Ɛ˂ |(1-1/10 n )/x n - 1/a| ˂Ɛ А это и обозначает, что предел послед-ты 1-1/10 n есть число 1.

§3 Предел функции О.: Число "в" называется пределом функции y=f(x), при х 0, если Ɛ˃ 0 найдется такое ρ=ρ( Ɛ ), ρ больше ˃ 0, что для всех х принадлежащих ρ()- окрестносты х 0,

соответствующие значения функции принадлежат Ɛ - окрестносты точки "в", т.е. если для всех х таких, что |х-хо| ˂ соответствующие f(x) удовлетворяют неравенство |f(x)-в| ˂Ɛ. Обозначение: для послед-ты: для ф-и:

Замечание! Число "в" является пределом ф-и f(x) при х 0, если, чем ближе точки х к точке хо, тем ближе соответствующие значения ф-и к точке "в".

Лемма: О.: Функция y=f(x) имеющая предел при х 0 является ограниченной, в некоторой окрестносты точки х 0. Ǝ - существует, u х 0 – окрестность точки х 0. u х 0 такая, что все хи х 0 выполняется неравенство m f(x) М, где m, M некоторые конечные числа.

ОБРАТНАЯ НЕВЕРНА: Например, y=sin x является ограниченной для всех xD(sin x), но при этом х, - не существует.

§4 Односторонние пределы О.: (х 0 -;х 0 ) называется левосторонней окрестностью точки х 0. Интервал (х 0 ; х 0 +) называется правосторонней окрестностью точки х 0. О.: Предел lim φ(x), при х 0 (-), называется левосторонним пределом функции у = φ(x), х(х 0 - ;х 0 ), т.е. х 0 (-) слева.

О.: Предел lim f(x), при х 0 (+), называется правосторонним пределом функции y=f(x), x(x 0 ;x 0 +), т.е. стремятся к х 0 справа. Теорема. Для того чтобы существовал (конечный) предел необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и эты пределы были равны

§5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции О.: Ф-я y=f(x) называется бесконечно малой, если Б.м. обозначается α(х), β(х), γ(х). О.: Ф-я y=f(x) называется бесконечно большой при х 0, если. Б.б. обозначается f(x), t(x), g(x).

Пример: y=1/x;, б.б. x0+;, б.м. х 0-;,у=1/х, б.м. х+, у=1/х, б.м. х-

Теорема о связи б.м. и б.б. функций. 1 теорема: Если ф-я y=f(x) является б.б. при х 0, то обратная ей ф-я у=1/f(x) является б.м. при х 0. 2 теорема: Если ф-я y=f(x) является б.м. при х 0, то обратная ей ф-я у=1/α(х) является б.б. при х 0.

§6 Свойства бесконечно малых Все бесконечно малые рассматриваются при х 0 : 1)Сумма конечного числа б.м. функций является б.м. функцией; 2) Произведение б.м. функции на const является б.м. функцией; 3) Произведение б.м. функций является б.м. функцией;

4) Отношение α(х) к f(x) является б.м., если α(х) – б.м., f(x) – не является б.м. 5) Произведение б.м. функции на ограниченную функцию является б.м. функцией. Замечание! Отношение 2-х б.м. функций может быть как б.м., так и const, а также и б.б. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида [0/0].

§7 Свойства б.б. функций 1)Const ˣ б.б. функцию является б.б. функцией, const 0; 2) Сумма б.б. функций одного знака является б.б. функцией; 3) Произведение б.б. функций является б.б. функцией.

Замечание!: 1.Говорят, что отношение 2-х б.б. величин дает неопределенность вида [/]. 2. При произведение б.м. × б.б. функции имеет место неопределенность вида [0×]. 3. Разность б.б. функций одного знака дает неопределенность вида [ - ]. 4. Другого вида неопределенносты: [0 0 ], [0 ], [ 0 ], [1 ].

§8 Свойства пределов Все пределы вычисляются при х 0, существуют и конечные: 1)Предел const = самой const. 2) Предел суммы, разносты, произведению и дроби, если предел знаменателя 0, равен соответственно сумме пределов, разносты пределов, произведению пределов и частному пределов.

3) Const, как множитель, можно выносить за знак предела. 4) Если ф-я не отрицательная, в некоторой окрестносты х 0, то предел этой функции не отрицателен при х 0. 5) Теорема о сжатой переменной. Если в некоторой окрестносты точки х 0 функция φ(x)f(x)g(x) и предел функции, то.

6) Если предел функции существует, то он единственный. 7) 2-я лемма о пределе. О.: Для того чтобы существовал конечный предел функции y=f(x) при х 0 необходимо и достаточно, чтобы функцию f(x) можно было представить в виде: f(x)=b+α(x), где, α(х), при х 0, - б.м. 8) Если в точке х 0 ф-я f(x) непрерывна, то знак ф-и f и значок предела можно поменять местами.

Это свойство позволяет вместо х подставить х 0 и тем самым показать, что при х 0 предел ф-и будет равен значению ф-и в точке х 0.

§9 Замечательные пределы П.1 I замечательный предел. О.: lim при х 0, но при этом α(х)0, П. 2 II замечательный предел. О.:

П.3 Модификация замечательных пределов. На основании II замечательного предела, получено что: 1) 2)

3) 4)

§10 Сравнение бесконечно малых величин(функций) О.: Говорят, что при хо б.м. величина α(х) является б.м. более высокого порядка, чем β(х) при х 0, если. Значит α ˂ β.

О.: В рамках предыдущего определения величина β(х) называется б.м. более низкого порядка, чем α(х). О.: При х 0 б.м. β(х) и α(х) имеют одинаковый порядок малосты, если

Пример: 1)При х 0 х 3 б.м. более высокого порядка, чем х 2, т.к. 2) В этом случае х 2 является б.м. более низкого порядка, чем х 3 при х 0. 3) при х 0 б.м. 3 х 3 и 4 х 3 имеют одинаковый порядок малосты.

О.: При хо б.м. α(х) и β(х) называются эквивалентными (α(х) ~ β(х)), если.

Свойства эквивалентносты: 1) α(х)~α(х) 2) α(х)~β(х)β(х)~α(х) 3) α(х)~β(х), β(х)~γ(х), α(х)~γ(х) α(х)~β(х) б.м. при х 0.

Таблица эквивалентных б.м.: При х 0, α(х)0: 1. Sin α(x)~α(x) 2. tg α(x) ~ α(x) 3. arcsin α(x) ~ α(x) 4. 1-cos α(x) ~ (α(x)) 2 /2 5. arctg α(x) ~ α(x) 6. e α(x) -1 ~ α(x)

7) Ln (1+α(x)) ~ α(x) Т. О применении эквивалентных б.м. величин. Если при х 0 α(х)~α1(х), β(х) ~ β1(х) и при этом существует предел, то существует предел и эты пределы между собой равны.

§11 Понятыя об асимптотыческих формулах. О.: Если при х 0 справедливо равенство f(x)=φ(x)+ б.м.(φ(x)), где б.м.(φ(x)) – б.м. более высокого порядка чем φ(x), то φ(x) называется асимптотыческим членом или асимптотыческим выражением для ф-и f(x), при х 0.

О.: φ(x) является асимптотыческим выражением для ф-и f(x), если. Особый интерес вызывает вопрос: «при каких условиях существует асимптотыческое выражение φ(х)=kx+b, при х±».

Ответ: Из этой формулы можно получить, что, если k конечная, то. Если k и b конечные числа, то прямая y=kx+b называется невертыкальной асимптотой графика функции y=f(x) при х±.

Если k=0, b – конечное число, y=b является горизонтальной асимптотой графика функции f(x). Для ф-ий содержащих в своей записи показательную или логарифмическую ф-ю пределы надо отдельно вычислить для х+ и х -.

Тем самым находят правые и левые, если они существуют, невертыкальные асимптоты.

Непрерывные функции. Разрывные.

§1 Приращение ф-и. Непрерывные ф-и. О.: Приращение некоторой переменной называется разность между новым значением этой величины и её прежним значением. х 1 -х 0 =х; х 1 - новое значение; х 0 - прежнее значение;

О.: y=f(x), даны точки х 0 ; х 0 -хD(y), тогда разность у=f(x 0 +x)-f(x 0 ) – называется приращением ф-и в точке x 0 О.: Ф-я y=f(x) определенная на некотором множестве называется непрерывной в точке x 0, x 0 D(y), если: 1)ф-я определена в точке x 0 2)Приращение ф-и в точке х 0 0. если приращение аргумента 0.

2-е определение непрерывносты в точке: О.: Ф-я y=f(x) называется непрерывной в точке х 0, х 0 D(y), если: 1)ф-я определена в точке х 0 и в некоторой окрестносты точки х 0. 2) существует. 3) этот предел равен значению ф-и в точке х 0, т.е..

Теорема. 1-е и 2-е определения непрерывносты в точке эквивалентны.(из 1-го вытекает 2-е и наоборот).

§2 Функции непрерывные на отрезке. Теоремы о непрерывносты функции. О.: Ф-я, непрерывная в каждой точке некоторого отрезка называется непрерывной на этом отрезке.

Теоремы о непрерывных функциях: Все ф-и рассматриваются в точке х 0 или на некотором отрезке: 1)Основные элементарные ф-и(и элементарные ф-и) непрерывны в областы определения. 2) Сумма конечного числа непрерывных ф-ий является непрерывной ф-ей.

3) Произведение конечного числа непрерывных ф-й является непрерывной ф-ей. 4) Частное от деления 2-х непрерывных ф-й является непрерывной ф-ей в тех точках, в которых делитель 0. Следствие! Дробно-рациональная ф-я непрерывна всюду, за исключением тех точек, в которых знаменатель = 0.

5) Непрерывность сложной ф-и. Непрерывная ф-я от непрерывной ф-и, т.е. сложная, является непрерывной ф- ей в областы определения. 6) т. о непрерывносты обратной ф-и. Если ф-я y=f(x) непрерывна и строго монотонна, на некотором промежутке [a;b], то существует однозначная обратная ф-я, х=φ(у), определенная на промежутке [f(a);f(b)] непрерывная и монотонная в том же смысле.

§3 «Истынное» значение функции. Ф-я y=f(x) непрерывна всюду, за исключением точки х 0. Вопрос: Как подобрать f(х 0 ), чтобы новая ф-я была непрерывна в точке х 0. По определению, если, то f(x) непрерывна в точке х 0.

Пример 1. y=1/(x-7) Lim 1/(x-7)=, при х 7. У(7)-не существует. Т.к. предел =, то заданную ф-ю нельзя доопределить до непрерывной ф-и. Предполагаемого у(7) не существует.

О.: Операция нахождения предела называется раскрытыем неопределенносты, а сам предел, если он существует, называется «истынным» значением ф-и y=f(x) в точке х 0. y=x 2 -4/(x-2), D(y)2; Ф-я непрерывна всюду, за исключением точки 2.

Заданную ф-ю доопределим в точке 2 значением 4. И новая ф-я у = : х 2 -4/(х-2), если х 2; 4, если х=2; Является непрерывной для всех х. Для заданной ф-и «4» является «истынным» значением ф-и.

§4 Классификация точек разрыва графика функции. О.: Точка х 0 называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается хотя бы одно условие непрерывносты ф-и. В зависимосты от того, какое нарушение имеет место различают следующие виды разрывов:

1.О.: если точка х 0, точка разрыва графика ф-и и существуют конечные односторонние пределы ф-и в этой точке, то х 0 точка разрыва I-го рода. точкой устранимого разрыва. При этом, если односторонние пределы равны между собой( но не равны значению ф-и в этой точке), то х 0 называется точкой устранимого разрыва.

Если односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то х 0 точка скачка ф-и; Величина скачка h вычисляется по формуле: 2. Все остальные разрывы являются разрывами II-го рода.

Производная функции

§1 Дифференцирование функций заданных неявно. О.: Ф-я «у» считается заданной неявно, если она задана уравнением f(x;y)=0. Например: x 2 +y 2 = 7 – неявная ф-я. х 3 sin y – xy = 5 – неявная ф-я. у х - ?

Правило. Для того чтобы найты у х ф-и заданной неявно, нужно продифференцировать обе часты равенства f(x;y) = 0 по переменной х. И из получившегося уравнения выразить у х.

Например: х 2 +sin y – xy = 5 Считаем, что х – независимая переменная, а «у» ф-я зависящая от «х». 2 х+cos y × y` - (x`y + xy`) = 0 2x + cosy × y` - y – xy` = 0 y`(cosy – x) = y – 2x y`=y-2x/(cosy – x)

§2 Производная степенно – показательной функции. О.: Ф-я вида y = (u(x)) v(x) называется степенно – показательной ф-ей. Найдем у` х. Прологарифмируем обе часты равенства по основанию e. Ln y = ln u v Ln y = v ln u

Получим ф-ю заданную неявно. Продифференцируем обе часты. y`/у` = V`ln u + V(ln u) y`/y = V`ln u + V(u`/u) | y=u v y`= u v (V`ln u + (v/u)u`) Раскроем скобки: y` = u v lnu V` + u v V/u u` y`= u v lnu v` + V u v-1 u` Производная степенно – показательной ф-и = сумме производных показательной и степенной ф-ий.

§3 Производная функция заданной параметрически О.: Ф-я вида называется ф-ей заданной параметрически, где t – параметр. Производная y x вычисляется по формуле: y` x = y t / x t

§4 Производные высших поярдков. О.: Если у есть производная ф-и y=f(x), то производная от у называется второй производной или производной второго порядка. И обозначается y x. О.: Производные более высоких порядков находят по формуле: y n = (y n-1 ).

§5 Уравнение касательной к графику ф-и в точке с абсциссой х 0. Геометрический смысл производной: Угловой коэффициент касательной проведенной к графику ф-и в точке с абсциссой х 0 равен значению производной ф-и в точке х 0, получим уравнение касательной: y = f(x 0 ) + f`(x 0 )(x-x 0 )

1), где 2) 3) 4) 5) 6), где n – натуральное число, где a>0, Частный случай: 8), где a>0, Частный случай : 9) 10) 11) Таблица производных элементарных функций 7) 12)

Применение дифференциального исчисления в некоторых задачах математыческого анализа.

Правило Лопиталя к применение нахождения пределов функций. 1.Теорема(Правило Лопиталя): Пусть ф-и f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестносты точки x 0 и обращается в нуль в точке х 0.

Пусть φ`(x) 0 в окрестносты х 0, тогда, если существует конечный предел, то справедливо равенство.

2) Теорема. Пусть ф-и f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестносты точки х 0(может быть, за исключением точки х 0), при этом,. φ`(x) 0. Если существует предел, То справедливо равенство:

Применение дифференциального исчисления в исследовании ф-и и построению графика этых функций. y=ln x/(x+6) - 1 1)Область определения функции. -Те значения аргумента х, при которых ф-я имеет смысл. x/(x+6)>0; D(y)(-;-6)U(0;+)

Периодичность 2) Периодичность. Четность / нечетность 3) Четность / нечетность. y=f(x), x;-x D(y) - Если f(x) = f(-x) – ф-я называется четной; -Если f(-x) = -f(x) – ф-я называется нечетной; - Если f(-x) f(x); f(-x) -f(x) – ф-я называется ни четная, ни нечетная; y(-x) = ln (-x/(-x+6)) - 1 = ln (x/(x-6)) – 1

Точки пересечения графика ф-и с осями координат. 4) Точки пересечения графика ф-и с осями координат. С осью ОУ: О.: при х=0, находим значение у. 0 не принадлежит D(y). Следовательно, с осью ОУ график ф-и не пересекается. С осью ОХ: О.: При у=0, находим значение х. Если у=0,то ln(x/(x+6)) – 1 = 0 Ln(x/(x+6))=1; x/(x+6)=e; x=e(x+6); x=ex+6e.

X(1-e)=6e x=6e/(1-e) X - 10 (-10;0) Исследование функции на непрерывность. 5) Исследование функции на непрерывность. Т.к. заданная ф-я является элементарной, то она является непрерывной в областы определения, т.е. х(-;-6)U(0;+)

Точки -6;0 являются точками разрыва графика ф-и. Исследуем в этых точках характер разрыва. Для нашей ф-и: -6 – точка разрыва II-го рода, т.к. правосторонний предел не существует.

Рассмотрим поведение ф-и при х – точка разрыва II-го рода, т.к. при х 0 предела не существует. Т.к. -6 и 0 точки разрыва II-го рода, то прямые х=-6, х=0 являются вертыкальными асимптотами графика функции.

Невертыкальные асимптоты найдем как прямые с уравнением y=kx+b 1,2, где ; Для нашей ф-и: - У=-1-правая горизонтальная асимптота графика ф-и.

У=-1 – левая горизонтальная асимптота. Точки экстремума. Промежутки монотонносты. 6) Точки экстремума. Промежутки монотонносты.

О.: Точка х 0, принадлежащая некоторому промежутку из областы определения ф-и называется точкой локального минимума, если значение ф-и в этой точке наименьшее по сравнению со значениями ф-и в точках этого промежутка;

И х 0 точка локального максимума, если значение ф-и в этой точке наибольшее по сравнению со значениями ф-и в точках промежутка. О.: Точка min и max ф-и называются точками экстремума ф-и.

Теорема о необходимом условии существования экстремума ф-и. Если х 0 D(y) и х 0 является точкой экстремума ф-и, то производная ф- и в этой точке = 0 или не существует. О.: Ф-я y=f(x) возрастающая(убывающая) на некотором промежутке, если на этом промежутке чем больше х, тем больше у(чем больше х, тем меньше у).

Необходимое и достаточное условие убывания или возрастания функции: Ф-я y=f(x) возрастающая, на некотором промежутке, если f `(x)>0 на этом промежутке и убывающая, на некотором промежутке, если f `(x)

Теорема. Достаточное условие существования экстремума. - Если при переходе через некоторую точку производная меняет знак с «+» на «-», то это точка является точкой максимума ф-и; - Если при переходе через некоторую точку производная меняет знак с «-» на «+», то это точка является точкой минимума ф-и;

О.: Точки, в которых производная = 0 или не существует называются критыческими точками ф-и. Для нашей ф-и: Вычислим у`: y`=(ln(x/(x+6))-1)` = (lnx – ln (x+6) – 1)` = 1/x – 1/(x+6) = x+6-x/(x(x+6)) = 6/x(x+6); y`0 в областы определения; D(y `): x0, x-6; 0 и -6 не являются критыческими точками;

Отсюда следует, что на 2-х промежутках у` определена непрерывна, не обращается в ноль и, следовательно, сохраняет знаки своих значений. Найдем знак y` на промежутках (-;- 6) и (0;+): y`(-7)>0; y`(1)>0 Ф-я возрастает на промежутках (-;- 6) и (0;+).

Точки перегиба графика функции. Промежутки выпуклосты, вогнутосты графика функции. 7) Точки перегиба графика функции. Промежутки выпуклосты, вогнутосты графика функции. О.: Ф-я называется вогнутой на некотором промежутке, если её график расположен выше любой касательной. О.: Ф-я называется выпуклой на некотором промежутке, если её график расположен ниже любой касательной, проведенной в любой точке этого промежутка.

О.: Точки из областы определения ф- и, в которых вогнутость меняется на выпуклость( или наоборот) называются точками перегиба графика функции. Теорема. Необходимое условие существования точки перегиба. Если х 0, из областы определения ф- и, точка перегиба графика ф-и, то в этой точке у=0 или не существует.

Теорема. Достаточное условие вогнутосты(выпуклосты): графика функций: -Если на некотором промежутке у>0, то на этом промежутке ф-я вогнута; - Если на некотором промежутке y

Достаточное условие существования точки перегиба. Если при переходе через точку х 0 D(y), y поменяла знак, то х 0 является точкой перегиба графика функции. Для заданной ф-и: Возможные точки перегиба найдем из необходимого условия. Найдем y:

y= 6/x(x+6) = 6*(x 2 +6x) -1 y=6(-1)(x 2 +6x ) -2 (2 х+6) = - 6(2 х+6/(х 2 +6 х) 2 ) D(y) : x(x+6) 0; x0; x-6; 0;-6 – не принадлежат областы определения функции. y=0;(2x+6)/x(x+6) = 0. 2x+6=0, x=-3, -3 – не принадлежит областы определения функции; x(x+6)0, x0. x-6;

Следовательно, критыческих точек нет. Точек перегиба график функции не имеет. Так как в данном примере точек перегиба нет, то найдем знак y в областы определения. y(1) = -6(1+6/49) ˂ 0; y(7) = -6(-8/7) ˃ 0; (-; -6) – промежуток вогнутосты; (0;+) – промежуток выпуклосты; На основании исследований построим график.