Комплексные числа и квадратные уравнения выполнили: Охремчук, Нетяга, Мифтахов, Михайлов. - презентация

1 Комплексные числа и квадратные уравнения выполнили: Охремчук, Нетяга, Мифтахов, Михайлов.

2 Определение Определение Ч ЧЧ Число w называется квадратным корнем из комплексного числа z, если его квадрат равен z: w2 = z Квадратный корень из z обозначают z. Так как равенство w 2 = 0 выполняется лишь при w = 0, то 0 = 0. Таким образом, из числа 0 можно извлечь лишь один квадратный корень. Если w – квадратный корень из числа z, то и -w является квадратным корнем из z: из w 2 = z следует: (-w)2 = z.

3 Теорема. Пусть z = a + bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z не существует. Если b 0, то эти числа выражаются формулой Где При b = 0, a > 0 имеем: w = ± a, а при b = 0, а <0 имеем: w = ± i |a|.

4 Доказательство. Пусть w = u + vi и w 2 = z. Тогда выполняется равенство (u + vi) 2 = a+bi, т.е. u 2 – v 2 + 2uvi = =a+bi. Для отыскания u и v получаем систему: Если b = 0, то либо u = 0, либо v = 0. При v = 0 имеем u 2 = а, и потому а > 0, u = ± а. Если же u = 0, то –u 2 = а, и поэтому а < 0, v = ± |а|.

5 Разберем теперь случай, когда b 0. в этом случае u 0, и из второго уравнения находим, что v = b/2u. Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем уравнение 4u 4 - 4au 2 – b 2 = 0. Оно имеет лишь два действительных корня: Первому значению для u соответствует значение

6 Но, значит И поэтому Второму значению uсоответствует противоположное значение для w. Теорема доказана.

7 Решим уравнения: 1) х х + 29 = 0. Решение: х = -2 ± 22 – 29 = -2 ± -25 = -2 ± 5i. Ответ: -2 ± 5i. 2) z2 – (3+2i)z + 6i = 0 Решение:. z 1 = 3, z 2 = 2i. Ответ: 3, 2i.