Об Авторах. Д анную п резентацию с оздавали ученицы 10 « А » к ласса - Данилович Дарья и Д винских М арина. М ы выбрали т ему « Омар Х айям. И стория. - презентация

1

2

3 Об Авторах. Д анную п резентацию с оздавали ученицы 10 « А » к ласса - Данилович Дарья и Д винских М арина. М ы выбрали т ему « Омар Х айям. И стория великого ч еловека ».

4 Омар Хайям родился в городе Нишапур области Хорасан (север Ирана) в семье ремесленника (Хайям- по-персидски буквально –делающий палатки). Детство провел в Балхе. Потеряв отца в 18 лет, был вынужден прервать учение и зарабатывать на жизнь.Жил и работал в Самарканде, Исфахане и других городах Средней Азии и Ирана. Когда он был еще молодым, большая часть Среднего Востока была захвачена сельджуками.Положение честных ученых, которых преследовали властители, было крайне тяжелым. Вот что пишет об этом сам Хайям в предисловии к своей «Алгебре»: «Я был лишен возможности систематически заниматься вопросом, и не мог сосредоточиться на размышлении о нем, так как обстоятельства заставляли меня терять много времени. Мы были свидетелями гибели ученых, от которых осталась небольшая многострадальная кучка людей. Суровость судьбы в эти времена препятствует им всецело отдаться совершенствованию и углублению своей науки. Большая часть тех, которые в настоящее время имеют вид ученых, одевают истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и лицемерия. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек».

5 Около 1069г. он, находясь в Самарканде, написал трактат « О доказательствах задач алгебры и ал-мукабалы». А до этого были написаны два математических трактата.В 1074г. Хайям был приглашен ко двору сельджукского султана Джалалэддина Маликшаха, где пользовался покровительством как его, так и прогрессивного визиря Низам ал-Мулка. В этом же году Хайям возглавил крупнейшую астрономическую обсерваторию в Исфахане. в 1077г. завершил работу над книгой «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида», в 1079г. вместе со своими сотрудниками ввел в действие календарь. В середине 90-х годов 11в., после убийства Маликшаха и ал-Мулка обсерваторию закрыли, это было вызванно сменой правителей, Хайям совершил паломничество в Мекку.

6 В середине 90-х годов 11в., после убийства Маликшаха и ал-Мулка обсерваторию закрыли, это было вызванно сменой правителей, Хайям совершил паломничество в Мекку. Об этом сообщает один из его недружелюбных биографов Ибн АЛ-Кифти следующими словами: что он совершил паломничество «…придержав поводья своего языка, а не из благочестия».Около 1097г. Хайям работает врачом при наместнике Хорасана. Возможно, в это время он написал свой философский трактат на языке фарси – «О всеобщности бытия».Последние лет жизни Хайям провел в уединении в Нишапуре. Он мало общался с людьми, испытывал нужду, страдал из-за религиозных преследований.В эти годы дружил только с книгой. В последние часы своей жизни, как сообщает историк Бейхаки, Хайям читал «Книгу исцеления» Ибн-Сины. Он дошел до раздела «О единстве и всеобщности» философского сочинения, положил на место зубочистку, встал, помолился и умер. Он прожил долгую и очень плодотворную жизнь. Биографы, достаточно близкие к нему по времени, говорили в основном о его учености и научных трактатах. Только Ибн АЛ-Кифти пишет о стихах, «жалящих как змея».В настоящее время неопровержимо доказаны исторические заслуги Омара Хайяма как ученого, который сделал ряд важнейших открытий в области астрономии, математики, физики и других наук.

7 От земной глубины до далеких планет Мирозданья загадкам нашел я ответ. От зенита Сатурна до чрева Земли Тайны мира свое толкованье нашли. Я распутал все петли вблизи и вдали … Этими стихами можно начать рассказ об увлечении Омара Хайяма астрономией. Благодаря покровительству одного их министров Сельджукского султана Маликшаха в распоряжение Омара Хайяма была представлена обсерватория в Исфахане. Проводя астрономические наблюдения, он стал подлинным революционером в науке. Он считал, что Земля, как и другие небесные тела, движется в бесконечном пространстве Вселенной, вращаясь вокруг своей оси. О.Хайям утверждал, что Вселенная никогда не была создана – она существовала вечно. Хайям учил, что только наука может открывать законы природы и заставлять природу служить людям. Он составил «Маликшахские астрономические таблицы», он работал над реформой иранского солнечного календаря. По ней високосными годами должны были считаться восемь лет из каждых 33. В среднем продолжительность года по Хайяму составляет 365 и 8/33 суток. Погрешность всего 19 секунд в год, точнее современного времени на 7 секунд. Год начинался со дня весеннего равноденствия, т.е. соответствовал ритмам природы и сельским работам.

8 В есенние и летние месяцы такого года длились 31 день, все месяцы второй его половины -30 дней. В простые годы последний месяц имел 29 дней. Календарь Хайяма дает ошибку в один день за 5000 лет, тогда как нынешний Григорианский календарь дает ошибку в один день за 3330 лет. О своем календаре Хайям говорит в стихах: Я рассчитал – твердит людей молва- Весь ход времен. Но дней ведь только два Изъял навек я из календаря: Тот, что не знаем, - завтра, не вернем - вчера. Реформа календаря была осуществлена в 1079 году; он действовал в Иране почти 900 лет и был отменен только в 1976 году. «Эй, видящий вращенье небосвода, Не помнящий, что смерть стоит у входа. Очнись, взгляни хоть мельком, как с людьми Жесткосердечно поступают годы!» - с горечью писал Омар Хайям. В 1092 году после смерти Маликшаха обсерватория была закрыта. Кроме астрономии и математики, Омар Хайям увлекался географией, написал несколько трактатов по естествознанию. Как настоящий ученый, он был скромен, сознавал, что лишь очень небольшая часть всех тайн Вселенной известна ему. Он писал: Меня философом враги мои зовут. Однако, - видит Бог, - ошибочен их суд. Ничтожней многого я: ведь мне ничто не ясно. Не ясно даже то, зачем и кто я тут.

9 Омар Хайям навсегда вошел в историю всемирной культуры не только как блестящий ученый – энциклопедист. Но и как прекрасный поэт и философ. Параллельно с занятиями наукой создавал он свои бессмертные стихотворения, известные всему миру под названием «Рубаи» (или «Четверостишия») Лирические стихи поэта о любви и дружбе, о поиске смысла жизни и о многом другом – оптимистичные и скорбные, практические и возвышенные, всегда наполнены глубоким смыслом.

10 В день завтрашний нельзя сегодня заглянуть Одна лишь мысль о нем стесняет мукой грудь. Кто знает, много ль дней тебе прожить осталось? Не трать их попусту, благоразумен будь. Ты скажешь, эта жизнь - одно мгновенье. Её цени, в ней черпай вдохновенье. Как проведёшь её, так и пройдёт, Не забывай: она - твоё творенье. Сердце к злу тебя клонит – так делай добро! Может узел распутать умело добро. Если оба спешат стать навек твоим другом, То в друзья выбирай себе смело добро! Тот, кто в сердце своём тайны духа познал, Тот читает в сердцах, кто б пред ним не стоял. Сам он – море, ныряльщик и жемчуг бесценный! Вникни в мудрость того, что сейчас я сказал! Живи праведно, будь тем доволен, что есть, Живи вольно, храни и свободу, и честь. Не горюй, не завидуй тому, кто богаче, Кто беднее тебя,- тех на свете не счесть! Не теряй никогда в жизни мудрости суть, Не теряй, чтоб к добру или злобе прильнуть! Ты – и путник, и путь, и привал на дороге,- Не теряй же к себе возвращения путь! Будешь людям служить – будешь ими любим, Другом верным, желанным становишься им. Мы – источник веселья – и скорби рудник, Мы вместилище скверны – и чистый родник. Человек – словно в зеркале мир,- многолик, Он ничтожен – и он же безмерно велик. Послушай, юноша, что старец произносит - Он только суть одну тебя постигнуть просит: Не должен ты дружить с безграмотным невеждой, Не должен труд вершить, что пользы не приносит. Лирические стихи поэта о любви и дружбе, о поиске смысла жизни и о многом другом – оптимистичные и скорбные, практические и возвышенные, всегда наполнены глубоким смыслом.

11 И с другом, и с врагом ты должен быть хорош! Кто по натуре добр, в том злобы не найдёшь. Обидишь друга - наживёшь врага ты, Врага обнимешь - друга обретёшь. Мы не знаем, протянется ль жизнь до утра... Так спешите же сеять вы зёрна добра! И любовь в тленном мире к друзьям берегите Каждый миг пуще золота и серебра. Будь мудр и жалкий путь глупца себе не выбирай. Коль щедр друг, в друзья скупца себе не выбирай. Сердца людей открыты тем, кто помыслами чист, Дари всем благ, но льстеца себе не выбирай. Не смотри, что иной выше всех по уму, А смотри, верен слову ли он своему. Если он своих слов не бросает на ветер - Нет цены, как ты сам понимаешь, ему. Изначальной всего остального – любовь, В песне юности первое слово - любовь. О, несведущий в мире любви горемыка, Знай, что всей нашей жизни основа - любовь! Поэзия непревзойденного мастера блестящих по остроумию и изяществу четверостиший пронизана стремлением к радостям земной жизни. Он прославляет человеческие чувства и подлинный, смелый и всё постигающий разум. Справедливость, доброта, свобода, честность – вот идеалы для Хайяма.

12 Говорят, что ты смертных умеешь прощать, Не дозволишь грешить и не дашь обнищать. Если ты воскресишь меня ангелом светлым, То зачем меня черною книгой стращать? Небо! Жалуешь ты почему подлецов? Бани, мельницы - им, им – сиянье дворцов. Человек благородный и хлеба не видит. Наплевать я на небо такое готов. Когда б я властен был над этим небом злым, Я б сокрушил его и заменил другим, Чтоб не было преград стремленьям благородным, И человек мог жить, тоскою не томим. В своих бессмертных стихах Омар Хайям воспевал свободу, бичевал ханжество и лицемерие, высмеивал суеверие, отвергая веру в потусторонний мир. Обращаясь к Богу, Хайям пишет о несправедливости на земле:

13 Душой ты безбожник с Писаньем в руке. Хоть вызубрил буковки в каждой строке. Без толку ты оземь башкой ударяешь, Ударь лучше оземь всем тем, что в башке! Миром правят насилие, злоба и месть, Что еще на земле достоверного есть? Где счастливые люди в озлобленном мире? Если есть – их по пальцам легко перечесть. Я презираю лживых, лицемерных Молитвенников сих, ослов примерных. Они же, под завесой благочестия, Торгуют верой хуже всех неверных. Стихи Омара Хайяма – своеобразный бунт против догм официальной религии. За такие стихи поэт подвергался нападкам духовенства и, изливая душу в своих четверостишиях, часто недоговаривая, скрываясь за намеками, сохранил свою жизнь только благодаря покровительству высоких правителей. В одном из своих стихотворений Хайям пишет: То облечет судьба меня в шелка, То обдерет, как дольку чеснока, Но об ее капризах долго думать – Так превратишься скоро в старика.

14 О, если б каждый день краюху хлеба, Над головою кров и скромный угол, где бы Ничьим владыкою, ничьим рабом не быть _ Тогда благословить за счастье можно небо. Лучше впасть в нищету, голодать или красть, Чем в число блюдолизов презренных попасть, Лучше кости глодать, чем прельститься сластями За столом у мерзавцев, имеющих власть. Долго ль будешь ты всяким скотам угождать? Только муха за харч может душу отдать! Кровью сердце питайся, но будь независим. Лучше слезы глодать, глодать, чем объедки глодать. Лучше мыкать нужду и невзгоды с ослом, Чем с презреньем сидеть за обильным столом. Лучше черствую корку глодать в одиночку, Чем халвой угощаться с вельможным ослом. Но надо заметить, что ученый – поэт тяжело переживал свою постоянную зависимость от богатых меценатов, отсутствие свободы личности. Он пишет:

15 На самом же деле великий ученый был глубоко верующим человеком. Его истинная вера выражалась в его стихах: Есть много вер, и все несхожи… Что значит – ересь, грех, ислам? Любовь к тебе я выбрал, Боже, Все прочее – ничтожный хлам. Мусульманин, еврей иль язычник ты есть - Жертвуй жизнью, чтоб душу до Бога донесть. Будь прямой, как стрела, в соблюдении веры! Иль - лежать в колчане тебе скромная честь. Только Бог! Ничего больше нет, знаю я, Мне о том рассказала тетрадь Бытия. Светом Истины сердце едва озарилось – От неверья очистилась вера моя! Ты, стремящийся в вечность дорогу найти, Можешь в светлой молитве ты много найти, Бог – в тебе, а великое небо есть в сердце, Лишь в себе – где еще тебе бога найти?

16 Математические сочинения, дошедшие до наших дней, характеризуют Омара Хайяма как выдающегося ученого своего времени. Он сыграл большую роль в создании и развитии алгебры. Первый математический трактат Омара Хайяма «Трудности арифметики» пока не обнаружен. Из других работ известно, что он содержит сведения о разработанном им общем приеме извлечения корня любой степени с натуральным показателем «методом индийцев». Основываясь на известных фактах, ученые предполагают, что Хайям открыл формулу возведения двучлена a+b в степень n. Славу Омару Хайяму, как алгебраисту, принесла теория геометрических решений алгебраических уравнений. Он изложил ее в трактате «О доказательствах задач алгебры и ал – мукабалы». О.Хайям впервые высказал мысль о том, что уравнения третьей степени не решаются с помощью «свойств круга» (т.е. с помощью циркуля и линейки), он подчеркивал, что их можно решить только с привлечением конических сечений. О.Хайям дал полную классификацию кубических уравнений, имеющих положительные корни. Он выделил 19 классов; из них 5 сводятся к линейным и квадратным.. Для остальных 14 классов он указал метод решения с помощью конических сечений – параболы, равносторонней гиперболы, окружности. Трактат «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида» состоит из трех частей. Первая часть посвящена теории параллельных линий. Стремясь доказать 5 постулат Евклида, Хайям сформулировал принцип, на котором основано его доказательство:

17 «Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно чтобы прямые расходились в направлении схождения». Кроме того, в первой части трактата рассматривается четырехугольник с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами. Ученый исследовал величину двух других углов четырехугольника. Используя свой принцип, Омар Хайям опроверг гипотезу острого и тупого углов, а затем доказал 5 постулат. О взаимосвязи геометрии с арифметикой Хайям пишет так: «Геометрия нуждается в числах». Во второй и третьей частях трактата О.Хайям анализирует античную теорию отношений и учение о числе. Средневековый ученый внес значительный вклад и создание понятия действительного числа. Понятие иррационального числа стало равноправным с числом рациональным. В трактате «Об искусстве определения количества золота и серебра в состоящем из них теле» рассматривается известная классическая задача, решенная Архимедом. Эпиграфом к научной деятельности Омара Хайяма можно выбрать строчку из одного четверостишия «Я познание сделал своим ремеслом…»

18 Омар Хайям работал в крупнейших научных и культурных центрах Средней Азии – Балхе, Самарканде, Исфахане, Бухаре, где прославился как великий математик. Его приглашали ко двору многие властители Востока. Правитель Бухары в знак наивысшего уважения сажал его для беседы рядом с собой на престол. В Исфахане прошли наиболее плодотворные 18 лет жизни ученого. Он стал приближенным султана, но отказался принять власть над родным городом Нишапуром, говоря, что «не хочет управлять людьми, приказывать и запрещать, а хочет посвятить себя науке и людям». Омар Хайям пишет: Хорошо, если платье твое без прорех, И о хлебе насущном подумать не грех. А всего остального и даром не надо- Жизнь дороже богатства и почестей всех. О своих занятиях наукой он пишет так: Не была познанья жажда чуждой сердца моего, Мало тайн осталось в мире, недоступных для него. Семьдесят два долгих года размышлял я дни ночи. Лишь теперь уразумел я, что не знаю ничего. О том, как много работал ученый, видно из строк: Мне мудрость не была чужда земная. Разгадки тайн ища, не ведал сна я.

19 Для уравнений, содержащих еще кубы и не приводящихся к квадратным (путем сокращения, как мы бы сказали, на первую степень неизвестного), решение возможно только с помощью конических сечений, причем в этом случае следует опираться на две первые книги труда Аполлония. Насколько известно - это первое указание, что уравнения третьей степени не решаются, вообще говоря. с помощью циркуля и линейки. В 1637 г. с подобным утвер­ ждением вновь выступил Р. Декарт, а еще 200 лет спустя его доказал П. Ванцель (1837). Для уравнений, содержащих еще кубы и не приводящихся к квадратным (путем сокращения, как мы бы сказали, на первую степень неизвестного), решение возможно только с помощью конических сечений, причем в этом случае следует опираться на две первые книги труда Аполлония. Насколько известно - это первое указание, что уравнения третьей степени не решаются, вообще говоря. с помощью циркуля и линейки. В 1637 г. с подобным утвер­ ждением вновь выступил Р. Декарт, а еще 200 лет спустя его доказал П. Ванцель (1837). Хайям ставит задачу численного решения кубического уравнения наподобие квадратных, но признает, что все усилия в этом направлении были тщетны: Хайям ставит задачу численного решения кубического уравнения наподобие квадратных, но признает, что все усилия в этом направлении были тщетны: «Доказательство этих видов в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-­нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это... ». Решение в радикалах кубических уравнений нашли в ХVI в. итальянские математики Ш. дель Ферро и Н. Тарталья. «Доказательство этих видов в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-­нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это... ». Решение в радикалах кубических уравнений нашли в ХVI в. итальянские математики Ш. дель Ферро и Н. Тарталья.

20 Главное содержание алгебры Хайяма составляет классификация уравнений, геометрическое построение корней и опре­деление числа и границ положительных решений. У равнения рассматриваются в общем виде, т. е. с произвольными по­ложительными коэффициентами, но выражены словесно. В основу классификации положены степень уравнения и число членов, имеющихся в обеих частях уравнения. Всего получается 25 канонических видов, из которых шесть были рассмотрены еще ал-Хорезми, пять приводятся к ним делением на неизвестное и 14 строятся с помощью конических сечений. Эти 14 видов разделяются на: 1) один двучленный, 2) шесть трехчленных, З) семь четырехчленных, которые в свою очередь разбиты па два класса - в одном из них трехчлены равны одночлену, а в другом двучлены - двучленам. В классификацию вошли только уравнения, которые могут иметь положительные решения. Главное содержание алгебры Хайяма составляет классификация уравнений, геометрическое построение корней и опре­деление числа и границ положительных решений. У равнения рассматриваются в общем виде, т. е. с произвольными по­ложительными коэффициентами, но выражены словесно. В основу классификации положены степень уравнения и число членов, имеющихся в обеих частях уравнения. Всего получается 25 канонических видов, из которых шесть были рассмотрены еще ал-Хорезми, пять приводятся к ним делением на неизвестное и 14 строятся с помощью конических сечений. Эти 14 видов разделяются на: 1) один двучленный, 2) шесть трехчленных, З) семь четырехчленных, которые в свою очередь разбиты па два класса - в одном из них трехчлены равны одночлену, а в другом двучлены - двучленам. В классификацию вошли только уравнения, которые могут иметь положительные решения. Решение квадратных уравнений не содержит чего-либо нового, и мы сразу перейдем к кубическим уравнениям. Вслед за древними, Хайям строго соблюдает принцип однородности. Он, например, предупреждает, что, говоря о равенстве числа и поверхности, понимает под числом прямоугольник, одна из сторон которого есть единица, а другая взята соответственным образом. Точно так же под телесным числом он понимает прямой параллелепипед, в основании которого лежит квадрат со стороной единица и высота которого относится к этой стороне, как данное число к единице. Каждое уравнение перед построением приводится к однородной форме, например уравнение Решение квадратных уравнений не содержит чего-либо нового, и мы сразу перейдем к кубическим уравнениям. Вслед за древними, Хайям строго соблюдает принцип однородности. Он, например, предупреждает, что, говоря о равенстве числа и поверхности, понимает под числом прямоугольник, одна из сторон которого есть единица, а другая взята соответственным образом. Точно так же под телесным числом он понимает прямой параллелепипед, в основании которого лежит квадрат со стороной единица и высота которого относится к этой стороне, как данное число к единице. Каждое уравнение перед построением приводится к однородной форме, например уравнение

21 Такое приведение основано на,специальных элементарно-гео­метрических теоремах. Прежде всего, Хайям дает построение с помощью двух парабол корня двучленного кубического уравнения. Затем решается уравнение (1) или (1') с помощью окружности и параболы, а по свойству круга Абсцисса точки пересечения этих кривых, отличная от начала, удовлетворяет дан­ному уравнению. Хайям доказывает это с помощью словесно выраженных пропорций. Он говорит, что по свойству параболы

22 а по свойству круга тогда Прибавляя с обеих сторон по Хайям получает: У этого вида, заключает Хайям, нет многообразия случаев и невозможных задач, т. е. уравнение (1) всегда имеет единст­венный положительный корень. Это ясно из построения. Построение корней следующего вида уравнения (для простоты мы далее не соблюдаем в записях однородности) представляет особый интерес. Это уравнение Хайям: решает с помощью параболы и левой части равносторонней гиперболы Здесь, говорит Хайям, имеется многообразие случаев и среди задач имеются невозможные. В самом деде, кривые могут не пересечься (правая ветвь, проходящая через вершину параболы и пересекающаяся с ней еще в одной точке, не прини­мается во внимание: соответствующий корень отрицателен);

23 и тогда задача невозможна (уравнение имеет отрицательный и два мнимых корня). Но кривые могут также касаться в одной точке или пересекаться в двух точках. В первом случае уравнение (2) имеет одно решение, а во втором - два. Таким обра­зом, Хайям устанавливает возможность существования двух корней уравнения третьей степени; далее встречается еще не­сколько таких случаев. Мы рассмотрим еще анализ уравнения встречающегося в задаче Архимеда. Построение корней производится с помощью параболы и гиперболы Согласно Хайяму, уравнение может иметь два или один положительный корень, соответственно пересечению или касанию верхних ветвей параболы и гиперболы, но может и не имеет решений, когда эти ветви не встречаются (см. рис. 2,где ). При этом Хайям устанавливает

24 некоторые пределы корней. Прежде всего, он показывает, что при решений нет, так как тогда прибудет прибудет и при будет, что противоречит данному уравнению. Далее он разбирает случаи, сравнивая ординаты параболы и гиперболы (BD) при. 1) Если, то обе ординаты кривых равны и, как легко видеть, имеет место одно пересечение, так что получаются два решения. 2) Если, то и ордината гиперболы больше больше ординат

25 параболы Справа от BD кривые могут не встретиться, но могут и пересечься или иметь касание; задача, соответственно, невозможна или же имеет одно либо два решения меньших 3) Наконец, если,то точка D гиперболы лежит внутри параболы Довольно подробный анализ Хайяма не является все же исчерпывающим. Еще Архимед и затем ал-Кухи установили, что граница положительных корней определяется условием между тем как Хайям показывает лишь, что два корня имеются при могут быть либо два корня, либо один, либо ни одного и при Разбирая уравнение Архимеда, Хайям замечает, что Абу-л-Джуд допустил здесь ошибку, полагая, что при имеет место касание, а при кривые не встречаются. Эту ошибку Хайям опровергает на примере числового уравнения. В данном случае Вместе с тем кривые и встречаются при x=6 (корень не указан). Впрочем, в другом примере, примыкающем к предыдущему, просчет допускает сам Хайям. Он хочет привести случай, когда при несколько большем, чем кривые не пересекаются, и рассматривает уравнение х:^ = 80х^2,

26 При абсциссах ординаты параболы оказываются соответственно меньшими ординат гиперболы, и Хайям делает вывод, что кривые не пересекаются. В действительности кривые имеют между этими двумя точками два пересечения; это следует хотя бы из того, что при промежуточном значении ордината гиперболы меньше ординаты параболы. Хайяму следовало взять свободный член больше, скажем 43^3. Эти два примера весьма показательны: они свидетельству ют о том, что общая геометрическая теория отделения корней применялась к уравнениям с числовыми коэффициентами. В дополнении к трактату, где разобраны оба примера, Хайям говорит, что стремился, соблюдая полноту анализа, быть кратким и потому не добавил числовые примеры на каждый вид и его случаи. Он «ограничился изложением общих правил, доверяя уму учащегося, так как тот, кто хорошо представляет этот трактат, не будет остановлен частными примерами и относящимся к ним подбором». Среди пробелов у Хайяма наиболее досадным является неполный разбор уравнения для построения, которого служит окружность и гипербола

27 Хайям правильно указывает, что уравнение всегда имеет корень - абсциссу точки К (рис. 3 где ) и что при Однако он не заметил, что при могут существовать еще два положительных корня этот корень единственный Так Хайям прошел мимо открытия трех корней кубического уравнения, которые обнаружил лишь Дж. Кардано в середине XVI в. Впрочем, заметить возможность еще двух точек пересечения между А и К па чертеже Хайяма нелегко. Разобрав 25 видов уравнений, Хайям: рассматривает урав­нения, содержащие обратные степени неизвестной и приводящиеся к предыдущим. По поводу уравнения он говорит, что построение его, сводящееся к определению четырех средних пропорциональных между 1 и а, было дано ибн aл-Хайсамом, но оно слишком сложно, чтобы приводить его в данной книге. В связи с уравнением т. е. уравнением четвертой степени, Хайям замечает, способ его решения неизвестен.

28 Математики стран ислама и после Хайяма занимались гео­метрической теорией уравнений высших степеней. В одной анонимной рукописи содержится построение задачи, приво­дящейся к уравнению четвертой степени, причем сказано, что в течение некоторого времени геометры и алгебраисты предлагали друг другу эту задачу, не находя решения. Требуется по­строить трапецию ABCD, у которой AB=AD= BC=10 и площадь равна 90. Если представить себе задачу решенной (рис. 4) и опустить пер­пендикуляр АК на продолжение CD, а за неизвестную принять DK=z,то Проведем гиперболу перпендикулярно к, АВ и через Е а из центра В окружность (ось абсцисс BA, ось ординат BE), Абсцисса точки пересечения С обеих кривых есть уравнения, и дальнейшее построение очевидно. Из «Ключа арифметики» aл-Каши мы узнаем, что сочинение о 19 видах уравнений, помимо общеизвестных шести (т. е. о видах, ранее разобранных Хайямом), написал Шарафэддин ал-Мас'уди, математик, работавший в XII-XIII вв. в Тусе и бывший одним из учителей Насирэддина ат-Туси. Вряд ли можно сомневаться, что ал-Мас'уди, как и его ученик был знаком с трудами Хайяма.

29 Сам ал-Каши занимался уравнения­ми четвертой степени и утверждает, что дал решение 70 их видов (в действительности их 65), которых не касались ни его предшественники, ни современники. Ал-Каши выражает наме­рение посвятить этому вопросу отдельную книгу; успел ли он написать ее - неизвестно. В мавританских странах геометрическая теория уравнений распространения не получила, во всяком случае западные арабы ею не занимались, хотя о ней кое-что знали. Ибн Халдун писал и XIV в.: «До нас дошло, что некоторые великие ученые Востока распространили число уравнений за эти шесть видов, доведя их более чем до двадцати, и нашли для них надежные решения с помощью геометрических доказательств. Аллах превозносит тех, кого ему благоугодно...» В XVII веке геометрическое построение корней уравнений высших степеней привлекло большое внимание европейских математиков. Р. Декарт положил в основу своей универсальной математики построение действительных корней произвольных алгебраических уравнений с помощью соответственно подобранных алгебраических кривых. В частности, он дал единое построение уравнений третьей и четвертой степеней с помощью параболы и окружности. С применением геометри­ческих построений в алгебре было тесно связано у Декарта развитие аналитической геометрии, например разработка классификации алгебраических кривых. Построением уравнений занимались почти все крупные математики XVII и даже ХVIП в., включая И. Ньютона, посвятившего ему целый отдел своей книги по алгебре. Впрочем, из общего геометрического метода решения задач, каким служило построение корней у Декарта, уже у Ньютона оно становится лишь одним из способов приближенного определения 2-х или 3-х первых цифр корней. В XVII и следующих веках получил развитие и поставленный еще Архимедом и затем в арабской алгебре вопрос, о границах корней уравнений.