Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета. Квадратные уравнения Произвольные произвольные квадратные уравнения приведенные квадратные уравнения. - презентация

1 Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета

2 Квадратные уравнения Произвольные произвольные квадратные уравнения приведенные квадратные уравнения полные неполные Формула корней квадратного уравнения D =? Х =?

3 Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения. Определение. Квадратное уравнение вида называется приведенным. Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице. Пример: Всякое квадратное уравнение может быть приведено к виду. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на

4 Задание: Преобразуй уравнения в приведенные: 2х 2 + 2х – 4 =0 18х 2 – 12х + 6 = 0 4х 2 – 16х + 5 = 0 4х 2 – 12х = 0 Подсказка: разделить все члены уравнения на старший коэффициент.

5 Вывести формулы корней приведенного квадратного уравнения

6 Реши уравнения УравнениеКорни уравнения Сумма корней Произведение корней 1.х 2 + х –12 = 0 2.х х – 45 = 0 3.у 2 + 8у +15 = у 2 - 5у +6 = 0 5.z 2 -10z +21 = z 2 - 3z -10 = 0 3 и –4 15 и и –5 3 и 7 2 и 3 5 и Найдите связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Сделайте вывод.

7 Как связаны между собой корни квадратного трёхчленаи его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета, которую мы будем сегодня изучать. Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.

8 Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену Теорема Виета: х 2 + рх + q= 0, х 1 + х 2 = -р, х 1 х 2 = q. Докажите теорему самостоятельно по следующему плану: 1. Запишите приведенное квадратное уравнение. 2. Запишите формулы его корней. 3. Найдите сумму и произведение его корней. 4. Сделайте вывод.

9 Франсуа Виет Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Виета часто называют «отцом алгебры»

10 Франсуа Виет Французский математик XVI века. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III и Генриха II. Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом. Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»

11 Если числа и таковы,… …что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх + q = 0 Справедливо ли это утверждение? Сформулируем утверждение, обратн ое теореме Виета.

12 Пример: Найти корни уравнения х 2 - 5х + 6 = 0. Решение: p = -5; q = 6. x 1 + x 2 = 5, x 1 x 2 = 6; Значит, числа х 1 и х 2 положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это числа 2 и 3, значит, х 1 = 2, х 2 = 3 – корни уравнения. Ответ: 2; 3.

13 Для чего нужна теорема Виета? 1. Она позволяет находить подбором корни квадратного уравнения. 2. По данным двум числам составлять квадратное уравнение. практическое значение 3. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его. 4. Зная один из корней, найти другой. 5. Определить знаки корней уравнения.

14 Для чего нужна теорема Виета? Практическое значение: зная корни квадратного уравнения, запишем само уравнение Пример: т = 6, n = -2 ; х 2 + р х + q = 0. т + n = 6 +(-2)= 4, р = -4; т n = 6 (-2)= -12, q = -12. х 2 – 4 х –12 = 0

15 Запишите квадратное уравнение, корни которого равны: а) 3 и 4 ; б) - 2 и 5 ; в) 0,4 и 1,5 х 2 – 7х + 12 = 0 х 2 – 3х – 10 = 0 х 2 – 1,9х + 0,6 = 0 Проверь себя!

16 Подведение итогов урока. Ответьте на вопросы: 1. Какие уравнения называются приведенными? 2. Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным? 3. Сформулируйте теорему Виета. 4. Зачем нужна теорема Виета? 5. Сформулируйте обратную теорему теореме Виета.

17 Подведение итогов урока. Ответьте на вопросы: 6. Чему равна сумма и произведение корней уравнения:

18 Дополнительные задания. Уровень А. 1. Найдите сумму и произведение корней уравнения: 2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5. Уровень В. 1. Найдите сумму и произведение корней уравнения: 2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и

19 Дополнительные задания. Уровень С. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: