Квадратичная функция Работа с программой. Уроки и задания: - первый урок - второй урок - третий урок - четвёртый урок - выводы. - презентация

1

2 Квадратичная функция Работа с программой. Уроки и задания: - первый урок - второй урок - третий урок - четвёртый урок - выводы

3 Определение квадратичной функции Определение: Функция, где a,b,c заданные действительные числа,,x – действительная переменная, называется квадратичной функцией. Вот примеры, где встречаются функции вида : 1. Площадь у квадрата со стороной х вычисляется по формуле. 2. Площадь круга S с радиусом r вычисляется по формуле 3. Если тело брошено вверх со скоростью v, то расстояние S от него до поверхности Земли в момент времени t определяется формулой В этих примерах рассмотрены частные случаи функциональной зависимости. далее

4 1. Найти нули квадратичной функции: 2. Найти коэффициенты p и q квадратичной функции: Решение Решение Справка ДалееСправка Далее

5 Справка:

6 решение решение Далее

7 Функции и (а>0). Рассмотрим свойства данных функций: 1. Если х=0, то у=0. 2. Если х 0, то у 0 при а Для неотрицательных значений х функции возрастают, а для неположительных значений х убывают. 4. Графики симметричны относительно оси у, так как. 5. Функции непрерывные, поэтому их графики - непрерывные линии. 6. Область определения функций множество R всех действительных чисел. График функции, если а 1, получается из графика функции растяжением последнего в a раз вдоль оси у; если же, то сжатием последнего в 1/а раз. Синий график – Фиолетовый график – Зелёный график - ЗаданиеЗадание.

8 1. На рисунке представлены графики функций (синий график) и Определите а. а) б) 2. Заданы функции и. а) При каких х определены эти функции? б) Какие значения принимают эти функции при х>0, х

9 Ответы и решение. 1. а) По графику найдём значение функций при х=1, у(1)=1 и у(1)=3. Ординаты находятся в отношении 3:1, значит а=3. б) По графику найдём значение функций при х=2, у(2)=4 и у(2)=1. Ординаты находятся в отношении 1:4, значит а=¼. 2. а) Область определения множество действительных чисел R. б) При х>0 и х 0; при х=0, у=0. в) х г) В I и II четвертях. 0,5 0,25 0,75 д) у>0 при х>0 и х

10 Функция. Рассмотрим два случая, когда а>0 и а0 ветви направлены вверх, а при а0, то функция принимает положительные значения при ; если а0, то функция возрастает при и убывает при ; если а

11 1. Постройте график функции и определите с помощью графика при каких х: а) у>0; б) у 0; в) у< -1; г) у -4. (Задание перепишите в тетрадь) Построить 2. Ответы Назад ДалееОтветы НазадДалее Функция Точка принадлежит графику Определите У=( t; -3)t ( -0.2; t)t

12 Решение: 1. а) у>0 - не принимает положительных значений, т.к. график расположен ниже оси ох; б) у 0 – при любом х; в) у

13 Функция. Рассмотрим функцию. Её называют квадратичной функ- цией. Любую квадратичную функцию с помощью выделения полного квад- рата можно записать в виде Графиком функции яв- ляется парабола, получаемая сдвигом параболы вдоль оси абсцисс вправо на, если >0, влево на, если 0, вниз на, если

14 Построить графики функций и по графику: 1) Найти значения х, при которых значения функции положительны ; отри- цательны; 2) найти промежутки возрастания и убывания функции; 3) выяснить при каком значении х функция принимает наибольшее или наименьшее значение, найти его. а) б) (Задание переписать в тетрадь) Построить.Построить. 2. По данному графику квадратичной функции выяснить её свойства: Далее Далее РешениеРешение Назад

15 Решение: 1. а) 1) при х 2 у>0; при 0,6

16 Выводы. Подведём итоги: 1. Область определения функции есть множество всех действительных чисел R. 2. Графиком функции является парабола. 3. Ось симметрии параболы прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы, координаты которой находят по формулам 4. Ветви параболы направлены вверх, если а>0, и направлены вниз, если а0 функция убывает на промежутке и возрастает на про- межутке ; при а

17 а) Построить вершину параболы, вычислив по формулам б) Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, ось симметрии параболы. в) Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответ- ствующие точки параболы. г) Построить две какие-нибудь точки параболы, симметричные относительно её оси. Например, можно построить точки параболы с абсциссами х=0 и (ординаты этих точек равны с). д) Провести через построенные точки параболу. 6. Функция принимает наименьшее (если а>0) или наибольшее (если а

18 Парабола обладает многими интересными свойствами, которые широко используются в технике. Например, на оси симметрии параболы есть точка, которую называют фокусом параболы. Если в этой точке находится источник света, то все отражённые от параболы лучи идут параллельно. Это свойство используется при изготовлении прожекторов, локаторов и других приборов. Фокусом параболы является точка А фокус параболы находится в точке Очень часто свойства квадратичной функции используют при решении задач с практическим содержанием. Одна из таких задач предложена на втором слайде. Полученные знания, будут использованы в дальнейшем при решении квадратных неравенств. Желаем Вам дальнейших успехов! Если хочешь, то прочти ещё раз.раз.

19 В Древнем Вавилоне грамотные люди умели решать довольно сложные уравнения, в том числе и уравнения второй степени. С одной из идей решения, предложенных вавилонскими математиками, сейчас познакомимся. Вспомним теорему Виета. Для уравнения справедлива система равенств. Хотя Франсуа Виет тогда ещё не родился вавилоняне знали эти факты, выражая их немножко по-другому. Задачи, которые сегодня мы свели бы к квадратному уравнению, вавилоняне часто рассматривали как задачи на определение длины и ширины прямоугольника по известной его площади и либо сумме длины и ширины, либо разности. Иначе говоря, если - длина, - ширина, р – сумма длины и ширины или их разность, q – площадь, то на нашем языке либо Решая первую систему, найдём разность длины и ширины, причём так как длина всегда больше ширины, то эта разность положительна: ДалееДалее

20 . Теперь, когда нам известна и сумма длины и ширины, и их разность, получилась система уравнений первой степени с двумя неизвестными: Решив эту систему, получим: Попробуйте самостоятельно провести такие же рассуждения для второй системы, у вас должно получится: А теперь вспомните, что для решения приведённого уравнения вы пользовались формулой Похоже? Конечно, только наш способ проще за счёт применения отрицательных чисел – вместо двух приёмов решения, вместо двух систем уравнений мы учим всего одну формулу. Запомнить эти два приёма нелегко, и люди искали пути для облегчения счёта. НазадНазад

21 1. В треугольнике АВС +а= 16 см. Определите наибольшую площадь треугольника АВС. (Используйте программу для построения графика функции). График НазадГрафик Назад 2. При каких значениях х принимают равные значения функции:. Построение

22 Работа с программой. Вы умеете работать с «мышкой»? Если да, то Вы легко справитесь с выполнением заданий. Если нет, то запоминайте: 1. Навести курсор на выделенный объект (слово), после того как стрелка «превратится» в руку сделать один клик левой кнопкой. 2. Переход с одного слайда на другой осуществляется с помощью слов- указателей: «Далее», «Назад», «Решение», «Построить» активизировав эту кнопку, ты получишь дополнительные сведения по изучаемой теме возврат на главную страницу. 5. Для выхода из программы нажмите в нижнем левом углу экрана и выберите «Завершить показ слайдов». Далее работаете по указаниям учителя. Далее

23 Построение графиков. Для построения графиков используются программы Graph 303 и Advanced Grapher. Обе программы имеют русский интерфейс. Назначение всех кнопок высвечивается на русском языке, на экране. Для ввода функции нажми кнопку. Ввод формул осуществляется на английском языке. ^ - значок возведения в степень; * - умножение (необходимо его ставить между коэффициентом и неизвестной); / - деление ( в случае дробного коэффициента); abs – введение модуля. Примеры: у(х)=3*x^2-2*x+1 ( ) у(х)=0,5*x^2+abs(3*x)-2 ( ). +F

24 Попробуем решить задачу: На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась; Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглашали… Вместе сколько, ты мне скажешь, Обезьян там было в роще? Как решать квадратные уравнения ребята уже знают. Поэтому, приняв за х общую численность стаи, легко составить уравнение, а вот решить довольно сложно. Но если записать в виде функции и построить график, то ответ найти станет просто. Кривая, являющаяся графиком этой функции, называется параболой. задание построить заданиепостроить задание