Экономическа проблема Участок моряЭкономическа проблема Участок моря. - презентация

1 Экономическа проблема Участок моря

2 Точка Ферма-Торричелли – точка сумма растояний от которой до трёх данных точек была бы минимальной.

3 В1В1 С1С1 A1A1 О

4 Теорема 3. Если все углы треугольника АBC меньше 120 0,то точка Ферма- Торричелли совпадает с точкой пересечения отрезков A1A,B1B и C1C,где А1, В1 и С1- точки, образующиеся в результате построения правильных треугольников на сторонах BC, AC и AB соответственно. Доказательство: Пусть внутри треугольника дана произвольная точка Р. Построим треугольник АР1В1, повернув треугольник АРВ на 600 против часовой стрелки. AP+BP+CP=AP1+BP1+CP.Очевидно, что наименьшее значение эта сумма принимает, когда В1С – прямая, а точки Р1 и Р лежат на ней. В этом случае Р совпадает с точкой Ферма-Торричелли. Аналогично, утверждение докажем для прямой В2А, содержащей точки Р и Р2, где В2 и Р2- точки, построенные при повороте треугольника СРВ на угол 600 по часовой стрелке. Рассмотрим треугольник АBC. треугольник AM1C1 образуется при повороте AMB на 600.Т.к. треугольник AMM1 равносторонний, и все его углы равны 600, то угол C1M1A= углу AMC=1200.угол М1AB=600- угол MAB;угол С1AB= углу C1AM угол MAB=600.Очевидно, что треугольник ABC1 равносторонний. Аналогично, треугольники A1BC и B1AC равносторонние. Теорема доказана. Для данного треугольника не может существовать более одной точки, сумма расстояний от которой до вершин принимала бы наименьшее значение. Доказательство: Допустим, что таких точек несколько. Возьмем две из них – M1 и M2. Очевидно, что суммы расстояний от этих точек до вершин треугольника ABC равны. Пусть N- середина отрезка M1 M2. Докажем, что 2BN

5 I. Для данного треугольника не существует более одной точки Ферма-Торричелли. II. Точка Ферма-Торричелли не может лежать вне треугольника. III. Если все углы треугольника ABC меньше 120 0, то точка Ферма- Торричелли совпадает с точкой пересечения отрезков A 1 A, B 1 B, C 1 C, где A 1,B 1 и C 1 – точки, образующиеся в результате построения правильных треугольников на сторонах BC, AC и AB соответственно. IV. Если один из углов треугольника равен 120 0, то точка Ферма- Торричелли совпадает с вершиной этого угла. V. Если один из углов треугольника больше 120 0, то точка Ферма- Торричелли совпадает с вершиной этого угла.

6 Использование точки в экономике Участок суши

7