Аналитическая геометрия программированное учебное пособие. - презентация

1 Аналитическая геометрия программированное учебное пособие

2 Содержание Глава 1. Элементы векторной алгебры –Основные понятия Скалярные и векторные величины. Определение и обозначение вектора. Модуль вектора. Компланарность и коллинеарность векторов. Равенство векторов. Противоположные векторы

3 Элементы векторной алгебры. 1. Основные понятия. Скалярные и векторные величины Если, спросив у собеседника, сколько ему лет, Вы получите ответ «20», то, вероятно, будете вполне удовлетворены, найдя ответ исчерпывающим. Если же Вы поинтересуетесь, как попасть в ближайшую деревню, и услышите в ответ, что нужно пройти 5 км, Вам придется задать еще один вопрос: «А в каком…»?…

4 Глава 1. Элементы векторной алгебры. - направлении- Одни величины (такие как возраст) вполне характеризуются только числом, другие же (как перемещение) – не только …, но и ….

5 Глава 1. Элементы векторной алгебры. - числом направлением - Величины, которые вполне определяются числовым значением, называются скалярными. Величины, определяемые не только числовыми значениями, но и направлением, называются векторными. Укажите, какие из перечисленных величин векторные: 1.ТемператураТемпература 2.СилаСила 3.Объём.Объём.

6 ВЫ НЕПРАВЫ, считая температуру векторной величиной. Вероятно, Вас ввело в заблуждение то, что значение температуры откладывается на шкале термометра в двух направлениях от нулевой точки. Но температура вполне характеризуется своим значением, выраженным числом (положительным, отрицательным или нулём), и поэтому является величиной скалярной. Слово «скаляр» происходит от латинского «scala» (шкала). Все значения скалярной величины могут быть изображены на шкале. Глава 1. Элементы векторной алгебры.

7 НЕВЕРНО! Объём величина скалярная. На вопрос: «Каков будет объём этой комнаты ?» ответ « » будет исчерпывающим. Говорить о «направлении» объёма бессмысленно

8 Глава 1. Элементы векторной алгебры. ВЫ ПРАВЫ. Сила – векторная величина. Действительно, для характеристики действия силы мало знать её числовое значение, надо знать ещё и направление, в котором она действует. Так, например, при действии силы в вертикальном и горизонтальном направлениях результаты неодинаковы (рис. 1). Итак, сила – такая величина, которая определяется не только числовым значением, но и направлением в пространстве, поэтому сила – векторная величина.

9 Определение и обозначение вектора. Для характеристики скалярных величин служат вещественные числа (скаляры), которые могут быть изображены в виде точек числовой оси (шкалы). Для характеристики и изображения векторных величин служат векторы. Вектором называется отрезок, соединяющий две данные точки пространства, причём указано, какая из них является началом, а какая – концом. Направлением вектора считается направление от начала к концу. На чертеже направление вектора обычно указывается стрелкой (рис. 2) рис. 2 Глава 1. Элементы векторной алгебры.

10 Мы будем обозначать векторы одной или двумя буквами со стрелкой над ними:,. Если вектор обозначен двумя буквами, то первая указывает начало вектора, а вторая – его конец. На каком рисунке изображен вектор ? М М N N а) б) Глава 1. Элементы векторной алгебры.

11 Вектор изображен на рисунке 3, б. На рисунке 3,а – вектор так как его начало обозначено буквой N. Вектором называется отрезок, соединяющий две точки пространства, одна из которых считается …, другая - …. Глава 1. Элементы векторной алгебры.

12 - началом, концом - Модуль вектора Длина вектора называется его модулем и обозначается так:, или AB,, или m. Модуль вектора – число неотрицательное (положительное или нуль). Вектор, модуль которого равен нулю, называется нуль – вектором и обозначается так: Глава 1. Элементы векторной алгебры.

13 Нуль – вектор представляет собой точку, в которой слились начало и конец вектора. Направление нуль – вектора не определено, т. е. ему можно приписать любое направление. На рис. 4 изображен параллелограмм со сторонами 3 и 4 ед. Укажите, в какой из групп 1 и 2 имеется неверное равенство: = 3, = 4 A B = 3; = -4. D C рис. 4 Глава 1. Элементы векторной алгебры.

14 НЕВЕРНО! Оба равенства в этой группе верны. Вы, вероятно, подумали, что модули векторов и должны отличаться знаками. Но модуль вектора – это его длина, которая от направления вектора не зависит.

15 Глава 1. Элементы векторной алгебры. ВЕРНО! Равенство = -4 неверное, так как модуль вектора не может быть отрицательным числом, а может быть только положительным числом или нулем. Нуль – вектором называется такой вектор, … которого равен ….

16 Глава 1. Элементы векторной алгебры. - Модуль нулю - Модуль вектора соответствует числовому значению изображаемой этим вектором векторной величины, а направление вектора указывает его направление. Например, показать, что тело весит 2 кг, можно с помощью вектора с модулем, равным 2 (см), направленного вертикально вниз (рис 5). В этой книге векторы будут использованы не для изображения физических величин, а как инструмент аналитической геометрии. (рис 5).

17 Глава 1. Элементы векторной алгебры. Компланарность и коллинеарность векторов Из совокупности векторов всевозможных направлений в пространстве выделим векторы, принадлежащие некоторой плоскости Q, а также векторы, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости Q. Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях называются компланарными. («компланарные» - значит «соплоскостные»; от латинского «planus» - плоскость),

18 Глава 1. Элементы векторной алгебры. На рис. 6 изображен параллелепипед. Какое из следующих утверждений относительно векторов на рис. 6 ошибочно : 1) и - компланарны компланарны 2) и - компланарны компланарны 3) и - компланарны компланарны A B D C

19 Глава 1. Элементы векторной алгебры. НЕВЕРНО ! Векторы и компланарны. Векторы и лежат в плоскости верхнего основания параллелепипеда и, следовательно, компланарны. А вектор лежит в параллельной плоскости верхнего основания Вернитесь обратно и подумайте над остальными утверждениями.

20 Глава 1. Элементы векторной алгебры. НЕВЕРНО ! Вы неправы, думая, что векторы и некомпланарны. Все они лежат в плоскости верхнего основания параллелепипеда и, следовательно, компланарны. Вернитесь обратно и поищите ошибку в остальных утверждениях.

21 Глава 1. Элементы векторной алгебры. ВЕРНО ! Вы правы. Неверно, что векторы и - компланарны, так как нет плоскости, содержащей вектор и параллельной плоскости, в которой лежат векторы и. Докажите или опровергните следующее утверждение : « любые два вектора компланарны »

22 Глава 1. Элементы векторной алгебры. Любые два вектора компланарны, так как они лежат либо 1) на пересекающихся прямых или на параллельных прямых, или на одной прямой, т. е. в одной плоскости, либо 2) на скрещивающихся прямых, т. е. в параллельных плоскостях. Следовательно, вопрос о компланарности имеет смысл ставить только для трех и более векторов Из совокупности векторов всевозможных направлений в пространстве выделим те, ….

23 Глава 1. Элементы векторной алгебры. которые лежат на некоторой прямой и прямых, ей параллельных. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными ( перевод слова « коллинеарные » - « солинейные », от латинского «linea – прямая ). Мы будем пользоваться краткой записью « » ( векторы и коллинеарны ). Укажите совокупность всех коллинеарных векторов, изображенных на рис.7 ( ABCD – трапеция, MN – ее средняя линия ). A BC D MN Е

24 Глава 1. Элементы векторной алгебры. - Если вектор коллинеарен с вектором, и вектор коллинеарен с вектором, то вектор коллинеарен с вектором (рис 8) Запишите это утверждение символически, пользуясь сокращением « ». (рис 8)

25 Глава 1. Элементы векторной алгебры. Это свойство называется транзитивностью («транзитивность» - переходность, от латинского слова «transitus» - «переход»). Напоминание. Свойством транзитивности обладает 1)Равенство чисел: если a=b и b=c, то a=c 2)Неравенство чисел: если a>b и b>c, то a>c 3)Параллельность прямых: если a || b и b || c, то a || c

26 Глава 1. Элементы векторной алгебры. Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (рис. 9,а) или противоположные направления (рис. 9,б). (рис 9,а)(рис 9,б)

27 Глава 1. Элементы векторной алгебры. Введём обозначения: 1) - «векторы и одинаково направлены». 2) - «векторы и противоположно направлены». Считаете ли Вы верными следующие утверждения? 1.Одинаковая направленность векторов обладает свойством транзитивности.Одинаковая направленность векторов обладает свойством транзитивности. 2.Противоположная направленность векторов обладает свойством транзитивности.Противоположная направленность векторов обладает свойством транзитивности

28 Глава 1. Элементы векторной алгебры. ВЕРНО! Одинаковая направленность векторов действительно обладает свойством транзитивности (рис. 10): и (рис. 10)

29 Глава 1. Элементы векторной алгебры. НЕВЕРНО! Противоположная направленность векторов не обладает свойством транзитивности (рис. 11): и, а не (рис. 11)

30 Глава 1. Элементы векторной алгебры. 1.Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются …. 2.Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются …. 3.Свойство коллинеарных векторов, заключается в том, что называется ….

31 Глава 1. Элементы векторной алгебры. 1.Компланарными. 2.Коллинеарными. 3.Транзитивностью. Какое из следующих утверждений не верно: 1.Если векторы коллинеарны, то они компланарны;Если векторы коллинеарны, то они компланарны; 2.Если векторы компланарны, то они коллинеарны;Если векторы компланарны, то они коллинеарны; 3.Если два из трёх векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны.Если два из трёх векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны.

32 Глава 1. Элементы векторной алгебры. ВЫ НЕПРАВЫ. Утверждение «Если два из трёх векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны» справедливо. Докажем это. Пусть даны векторы, и причём ||. Коллинеарные векторы и параллельны одной и той же прямой (назовем её т); прямая l, на которой лежит третий вектор, либо 1) пересекается с прямой т, либо 2) скрещивается с ней, либо 3) ей параллельна. В первом случае (рис. 13) векторы и параллельны плоскости, определяемой пря- т l (рис. 13)

33 Глава 1. Элементы векторной алгебры. мыми m и l, а вектор лежит в этой плоскости, т. е. векторы, и компланарны. Во втором случае через прямую l можно провести плоскость Q, параллельную прямой т (рис. 14) Векторы и параллельны плоскости Q, а вектор лежит в этой плоскости; следовательно, векторы, и компланарны. В третьем случае все три вектора коллинеарны, т. е. нужно доказать первое утверждение.первое утверждение. т l (рис. 14) Q

34 Глава 1. Элементы векторной алгебры. НЕВЕРНО. Первое утверждение верно. В самом деле, если векторы коллинеарны, то все они параллельны одной и той же прямой, и, следовательно, параллельны плоскости, проходящей через эту прямую. Итак, любая совокупность коллинеарных векторов является одновременно совокупностью компланарных векторов. Вернитесь обратно и хорошенько подумайте над остальными утверждениями.

35 Глава 1. Элементы векторной алгебры. ВЫ ПРАВЫ. Утверждение «Если векторы компланарны, то они коллинеарны» легко опровергнуть примером (рис. 12). Пусть М означает «векторы компланарны», N – «векторы коллинеарны» В выражении «Если …, то …» заполните пропуски буквами М и N так, чтобы получилось верное утверждение. Запишите полученное утверждение символически. (рис. 12).

36 Глава 1. Элементы векторной алгебры. 1.N М. 2.N М. Равенство векторов Два вектора и называются равными если они: 1)Имеют равные модули, 2)Коллинеарны, 3)Одинаково направлены. Запишите это определение символически.

37 Глава 1. Элементы векторной алгебры. На рис. 15 изображен квадрат. Какие из следующих равенств Вы считаете верными: 11) = 22) = 33) = А BC D рис. 15 На рис. 15 изображен квадрат. Какие из следующих равенств Вы считаете верными: 11) = 22) = 33) =

38 Глава 1. Элементы векторной алгебры. ВЫ ОШИБАЕТЕСЬ. Неужели только потому, что векторы и имеют равные модули, вы их считаете равными? Вы забыли, что для равенства векторов необходима их коллинеарность. Векторы и неколлинеарны, значит они не могут быть равными. Вернитесь, пожалуйста, и найдите равные векторы.

39 Глава 1. Элементы векторной алгебры. ВЫ НЕПРАВЫ, считая, что векторы и равны. Эти векторы коллинеарны, имеют равные модули, но направлены противоположно. Таким образом, одно из трёх условий равенства векторов нарушено; следовательно, векторы и считать равными нельзя. Вернитесь, пожалуйста и найдите правильный ответ.

40 Глава 1. Элементы векторной алгебры. ВЫ ПРАВЫ. Векторы и равны, так как они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные модули. Обладает ли равенство векторов свойством транзитивности? Запишите Ваш ответ символически и сформулируйте его словами.

41 Глава 1. Элементы векторной алгебры. Равенство векторов обладает свойством транзитивности: Если вектор равен вектору и вектор равен вектору, то вектор равен вектору. Про любые два вектора можно сказать, равны они или нет. Но бессмысленно говорить, что один из двух векторов больше или меньше другого. Понятие «больше», «меньше» для векторов не определены.

42 Глава 1. Элементы векторной алгебры. Какое из равенств справедливо для векторов на рис. 16: ; ? рис. 16

43 Глава 1. Элементы векторной алгебры. Оба неравенства несправедливы. Неравенство вовсе не имеет смысла, так как понятие «больше» для векторов не определено. Неравенство имеет смысл так как модуль вектора есть число, выражающее длину вектора; но для векторов на рис. 16 это неравенство неверно: вектор длиннее вектора. Равные векторы иногда удобно считать одним и тем же вектором, перенесенным параллельно

44 Глава 1. Элементы векторной алгебры. самому себе в другое место (рис. 17) Постройте три вектора с началом в точке О, соответственно равные векторам, и изображенным на рис. 18. рис. 18. А B C

45 Глава 1. Элементы векторной алгебры. = ; = ; = (рис. 19). Произведённую операцию (построение векторов, равных данным и имеющих общее начало) будем в дальнейшем называть приведение векторов к общему началу. рис. 18. А B C М N Р О

46 Глава 1. Элементы векторной алгебры. Противоположные векторы. Два вектора называются противоположными, если они: 1)Имеют равные модули, 2)Коллинеарны, 3)Направлены противоположно (рис20). Сравните это определение с определением равных векторов.равных векторов Какая между ними разница? Вектор, противоположный вектору обозначается Запишите определение противоположных векторов символически - -