Скачать презентацию
Идет загрузка презентации. Пожалуйста, подождите
Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемТимур Чвирев
2 Цель: Знакомство и классификация заданий уровня С
3 1. Решите уравнение
4 Решающий приём – замена неизвестной величины по формуле : Тогда уравнение существенно упроститься:
5 Практическое исполнение алгоритма может быть следующим. Критические точки 1 и 2 разбивают числовую ось на три интервала.
6 В зависимости от знака раскрываются модульные скобки в соответствии с определением модуля. Возвращаясь к старой переменной, получим: Ответ: [5;8].
7 Графический интерактивный вариант решения уравнения с переменной под знаком модуля.
8 Построив, с использованием этой модели, график уравнения. получим, что y = 1 при
9 А ещё, решение данного уравнения - эллипс – множество точек плоскости, у которых сумма расстояний от каждой точки, до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. С точки зрения геометрического смысла модуля уравнение интерпретируется так: сумма расстояний от точек А(1) и В(2) до точки М(х) есть величина постоянная равная 1. То есть отрезок [1;2] это вырожденный эллипс.
10 Никогда не следует бояться украсить свой ответ яркими подробностями. Найдутся люди, которые это оценят. Одним из способов решения уравнений является нахождение корней подбором с последующим доказательством того, что других корней нет. Это может сработать, когда левая часть уравнения – возрастающая, а правая – убывающая или постоянная функция. Но могут возникать ошибки, избежать которые помогают графические представления.
11 2. Решите уравнение Один из корней угадывается не сложным подбором х = 2. Левая часть – возрастает с ростом аргумента, а правая – постоянная функция.
12 Левая часть возрастает на двух интервалах непрерывности и график соответствующей функции имеет следующий вид: График левой части уравнения 2.
13 Каждая из ветвей графика пересекает прямую у = 100. Следовательно, уравнение имеет два корня. Приведём одно из возможных решений
14 Преобразуем обе части данного неравенства, выделяя полный квадрат из квадратного трёхчлена. Дело в том, что теперь выясняется, что наименьшее значение левой части неравенства равно 2 и достигается при х = 2, как и наибольшее значение правой части. При любых других значениях неизвестного левая часть больше правой. Ответ: 2. 3 Решите неравенство
15 4. Решите уравнение Рассмотрим два числа: Легко проверить, используя теорему Виета, что эти числа – корни квадратного уравнения
16 Тогда: Для решения определённых классов уравнений и систем полезно знать упрощающие подстановки. Рассмотрим, к примеру, так называемое возвратное уравнение четвёртой степени:
17 Смысл названия в повторении (возвращении) коэффициентов при степенях, расположенных симметрично, относительно середины левой части уравнения. Разумно предположить, что, а 0, иначе это не уравнение четвёртой степени. Тогда x = 0 – не является корнем уравнения, следовательно обе части можно разделить на х 2. После не сложных преобразований, получим: И вот теперь, с помощью замены неизвестной по формуле: получаем квадратное уравнение
18 5. Найдите три числа, образующие геометрическую прогрессию, если их сумма равна 35, а сумма их квадратов 525. Пусть второе число равно b, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда, по условию задачи можно составить следующую систему уравнений:
19 Выполним замену неизвестного: Тогда система преобразуется следующим образом: При любом из полученных значений знаменателя получается тройка чисел: 5; 10; 20.
20 6. Исследуйте функцию и постройте её график Задача предельно проста по формулировке, но содержит богатый развивающий исследовательский потенциал. Главное сразу понять, что параметр a может принимать любые значения. И не факт, что в каждом случае график функции имеет один и тот же вид. От значения параметра зависит область определения функции, наличие или отсутствие асимптот, точек перегиба и т. д.. Для наглядного представления о возможном поведении функции при различных значениях параметра, можно предложить ознакомиться с её компьютерной интерактивной моделью.
21 Интерактивная модель задания 6 Но до конца эффективно и полезно разобраться в этой модели может помочь лишь терпеливое изучение всех этапов решения. Начнём с первого случая, когда a = 0. Имеем постоянную на множестве всех действительных чисел функцию y = ln3. Её график – прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;ln3). Никаких более или менее интересных особенностей этот график, естественно не имеет, но задание требует его изображения
22 График функции задания 6 при a = 0. При a > 0 областью определения является вся числовая ось, так как, в этом случае при любом значении аргумента выражение под знаком логарифма строго больше нуля: ax > 0. Функция является чётной: y(-x) = y(x), то есть её график симметричен относительно оси ординат. Исследуем на монотонность и экстремумы. Рассмотр им более интересные случаи
23 Таким образом, данная функция возрастает на интервале (-;0], убывает на интервале [0;), точка х = 0 – точка минимума. Более детальные сведения о характере возрастания и убывания можно узнать, исследуя функцию на выпуклость и точки перегиба. Для этого требуется вычислить вторую производную и выяснить, в каких точках она равна нулю, в каких является отрицательной, а в каких – положительной. Один из аналитических вариантов оформления такого исследования может вполне быть следующим
24 . Исследование на выпуклость и точки перегиба
25 График имеет выпуклость вверх (или просто выпуклость) на интервалах (-;- 3/a ] и [ 3/a ; ). На интервале [ - 3/a ; 3/a ] функция выпукла вниз (или вогнута). Точки, в которых меняется направление выпуклости, называются точками перегиба. График функции, для данного пункта исследования, имеет следующий вид. График исследуемой функции при a > 0.
26 Остаётся исследовать функцию при a < 0. Найдём область определения Далее просто необходимо рассмотреть предельные переходы, чтобы понять поведение функции вблизи границ интервала.
27 Студенты первого курса, любого вуза, записывают этот факт одной формулой: Прямые называют вертикальными асимптотами. При приближении аргумента к границам интервала значение функции резко уходит в минус бесконечность. Интерактивная интерпретация этой ситуации выглядит следующим образом.
28 График функции при a < 0
29 Для качественного графика нужно границы изменения аргумента проставлять в соответствии с уравнениями вертикальных асимптот, вычисляемых автоматически. Данная в условии функция исследована полностью. Но интересующиеся читатели могут самостоятельно исследовать ситуацию, когда a > 0, b < 0. Для этого уравнение или неравенство разбивается на две части. Первая – которая не зависит от изменения параметра. График этой части является статичным и, естественно, не меняется при изменении параметра. Вторая часть – динамичная, меняет форму и расположение в зависимости от изменения параметра. Параметры как бы вносят в график движение, которое достаточно наглядно представить с помощью интерактивных моделей.
30 Литература ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ. Решение задач. И. Ф. Шарыгин. Москва «Просвещение» ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ. Решение задач. И. Ф. Шарыгин. В. И. Голубев. Москва «Просвещение» 1991
Еще похожие презентации в нашем архиве:
© 2024 MyShared Inc.
All rights reserved.