« Математика… выявляет порядок, симметрияииию и определённость, а это - важнейшие виды прекрасного.» Аристотель( до н.э.)- древнегреческий философ

Тема урока у(х) = ах 2 +вх+с Построение графика квадратичной функции

функция вида у(х)= ах 2 + в х + с, где а, в, с – заданные числа, а 0 х – независимая переменная у – зависимая переменная Квадратичной функцией называется (функция) (аргумент)

Внимание! Вопрос! Какие из данных функций являются квадратичными? ( укажите номер). 1)у = 3 х 2 + х + 2, 2)у = 4 х 2 – 1, 3)у = 6 х + 1, 4)у = - 7 х 2, 5)у = х х – 5, 6)у = - 8 х х.

Внимание! Ответ! 1)У= 4 х 2 – 1, 2)У= 3 х 2 + х + 2, 3)У= 6 х + 1, 4)У= - 7 х 2, 5)У= х х – 5, 6)У= - 8 х х.

Свойства функции у=ах 2 1)Графиком является парабола. Ветви параболы Ось Ох-ось абсцисс Ось Оу-ось ординат Вершина параболы (х 0 ;у 0 ) Ось симметрияииии параболы у=ах 2

2)Промежутки монотонности у=ах 2 (возрастания и убыванияия) у(х) возрастает при а>0 а

3)Промежутки знакопостоянства у(х)=ах 2 +вх+с у(х)>0 при а>0 а>0 у(х) >0 при а

Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции у=ах 2 +вх+с. х 0 х 0 х 0 х 0 х х у 0 у 0 у 0 у 0 у у у наиб =у 0 =у(х 0 ) а

Задание 1. Найти нули квадратичной функции а) у = х 2 – 4; б) у = х 2 – х; в) у = 2 х 2 + х -1.

Правильные решения! а) у = х 2 – 4. у=0 х 2 – 4 = 0, х 2 = 4, х 1,2 =±4, х 1,2 =±2. Ответ: х 1 =2, х 2 = -2.

Правильные решения! б) у = х 2 – х, у=0 х 2 – х = 0, х (х – 1) = 0, х 1 = 0, х – 1 = 0, х 2 = 1. Ответ: х 1 =0, х 2 = 1.

Правильные решения ! в) у = 2 х 2 + х – 1, у= 0, 2 х 2 + х - 1 = 0, D= *2*(-1)=1+8=9, Ответ: х 1 =1/2, х 2 =-1.

Задание 2 Найти кординаты вершины параболы а) у(х)=х 2 -4 х-5, б) у(х)=-х 2 -2 х+5.

Внимание! Правильные решения! а) у(х)=х 2 -4 х-5 а=1,в=-4, у 0 =у(2)=2 2 -4*2-5= =4-8-5=-4-5=-9, (2;-9)-кординаты вершины параболы б) у(х)=-х 2 -2 х+5, а=-1, в=-2, у 0 =у(-1)=-(-1) 2 -2* (-1)+5=-1+2+5=-1+ +7=6; (-1;6)- корд. верш. параб.

Задание 3 Найти кординаты точек пересечьения параболы с осями кординат? ( с осью Ох, с осью Оу ) а) у=х 2 -3 х+5, б) у=-2 х 2 +8.

Правильные решения! 1) С осью Ох: y=0 Х 2 -3 х+5=0 D=(-3) 2 -4*1*5=9-20=-11, D< 0 нет корней, У функции нет нулей, У параболы нет точек пересечьения с осью Ох 2)С осью Оу: х=0 У(0)=0 2 -3*0+5=5 (0;5) а) у=х 2 -3 х+5,

Правильные решения! у = -2 х 2 +8, 1) С осью ОХ: у=… -2 х 2 +8=0, -2 х 2 =… Х 2 =… Х 1,2 =±4, Х 1,2 =… (2;0);(-2;0)-кординаты точек пересечьения с осью Ох 2) С осью Оу: х=0 у=у(0)=-2*0 2 +8=8 (0;8)-кординаты точки перес. с осью Оу. 0, ±2; 4, -8,

Самостоятельная работа В-1В-2 1. Найти нули квадратичной функции (если они существуют). у=х 2 +5 х+6;у=х х+4; 2. Найти кординаты вершины параболы. у=х х+9; у=х 2 -6 х+8.

Правильные решения В у=х 2 +5 х+6; у=0, х 2 +5 х+6=0; D= *1*6=25-24=1; Ответ: х 1 =-2, х 2 =-3. В у=х 2 -5 х+4; у=0, х 2 -5 х+4=0; х 1 +х 2 =5, х 1 =4, х 1 *х 2 =4; х 2 =1. (по теореме,обратной теореме Виета) Ответ: х 1 =4, х 2 =1

Правильные решения В-1. В у=х х+9 (х 0 ;у 0 )-? у 0 = *5+9= = =-25+9=-16; (5;-16) Ответ: (5;-16). 2. у=х 2 -6 х+8, (х 0 ;у 0 )-? у 0 =3 2 -6*3+8=9-18+8= =9-10=-1; (3;-1) Ответ: (3;-1).

Построить график функции у=х 2 -4 х+3. а=1>0, ветви параболы – вверх. 1. Вычислим корд.верш.параболы: (х 0 ;у 0 ) х 0 =-в/2 а, у 0 =у(х 0 ). У 0 =у(2)=2 2 -4*2+3=4-8+3=7-8=-1. (2;-1)-кординаты вершины параболы. Построим точку (2;-1) Х 0 =4/2*1=2,

Построим точку (2;-1). 2. Проведём через точку (2;-1) прямую, параллельную оси Оу,-ось симметрияииии параболы. х=2- ур-е оси симметрияии.

Найдём нули функции у=х 2 -4 х+3, а для параболы- точки пересечьения с осью Ох. у=0 х 2 -4 х+3=0 х 1 +х 2 =4, х 1 *х 2 =3. х 1 =1, х 2 =3. нули функции (1;0),(3;0)-корд. точек пересечь. параболы с осью Ох. Построим точки (1;0) и (3;0). 3.

Построим точки (1;0) и (3;0).

Возьмём две точки на оси Ох, симметрияииичные относительно точки х=2, например, х 3 =0,х 4 =4. Вычислим значения функции у=х 2 -4 х+3 в этих точках: у(0)= у(4)=0 2 -4*0+3=3 Получим симметрияии.точки (0;3),(4;3). Построим их. 4.

Построим симметрияииичные точки (0;3) и (4;3).

5. Проведём параболу через построенные точки Итак, мы изобразили график квадратичной функции у(х)=х 2 -4 х+3

АЛГОРИТМ построения графика квадратичной функции у=ах 2 +вх+с Определить направление ветвей. 1. Вершина параболы (х 0,у 0 ) х 0 =-в/2 а,у 0 =у(х 0 ). 2. Ось симметрияииии. 3. Нули функции, если они есть. 4. Симметричные точки. 5. Провести через построенные точки параболу.

Исследование функции у=х 2 -4 х+3 (свойства данной функции) х у 2 у(х) убывает при у(х) возрастает при 1.Возраст. и убывания. х 2, х 2.

2. Положительные и отрицательные значения функции у(х)=х 2 -4 х х у 0 3 У(х) >0 при У(х)

З. Наибольшее или наименьшее значение функции у(х)=х 2 -4 х х 0 3 х 0 х 0 у 0 у 0 У данной функции нет наибольшего значения У наим =-1 у