1 Подобные треугольники Признаки подобия треугольников

2 Определение подобных треугольников Два треугольника называться подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Два треугольника называться подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. A A1A1 C1C1 B1B1 B C <A=<A1;<B=<B1; <C=<C1, AB/A 1 B 1 =BC/B 1 C 1 = CA/C 1 A 1 =k ABC~ A 1 B 1 C 1

3 Первый признак подобия треугольников Теорема Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

4 Дано АВС и А 1 В 1 С 1 – треугольники <А=А 1 ; <В=<В 1 A C B C1C1 B1B1 A1A1

5 Доказать: B1B1 C1C1 A1A1 B C A АВС~А 1 В 1 С 1 B1B1

6 Доказательство: По теореме о сумме углов треугольника: С=180°-А-В,С1=180°-А1-С1,следовательно угол С равен углу С1.Значит, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А1В1С1.

7 Доказательство: Докажем,что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А 1 В 1 С 1.Т.к <А=<А 1 и <С=<С 1,то Докажем,что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А 1 В 1 С 1.Т.к <А=<А 1 и <С=<С 1,то S ABC S A 1 B 1 C 1 =AB·AC A 1 B 1 ·A 1 C 1 S ABC S A 1 B 1 C 1 =AB·AC A 1 B 1 ·A 1 C 1 и S ABC S A 1 B 1 C =CA·CB C 1 A 1 ·C 1 B 1 и S ABC S A 1 B 1 C =CA·CB C 1 A 1 ·C 1 B 1

8 Доказательство: Из равенств пункта 2 следует, что АВ А1В1=ВС В1С1.Аналоггично,используя равенства <A=<A1, <B=<B1,получаем BC\B1C1=CA\C1A1.

9 Доказательство: Из равенств пункта 2 следует, что АВ А 1 В 1 =ВС В 1 С 1.Аналоггично,используя равенства <A=<A 1, <B=<B 1, получаем ВС/B 1 C 1 =CA/C 1 A 1. Из равенств пункта 2 следует, что АВ А 1 В 1 =ВС В 1 С 1.Аналоггично,используя равенства <A=<A 1, <B=<B 1, получаем ВС/B 1 C 1 =CA/C 1 A 1.

10 Что и требовалось доказать: Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Теорем доказана.

11 Второй признак подобия треугольников. Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

12 Дано A B C C1C1 B1B1 A1A1 <A=<A 1 ; AB/A 1 B 1 =AC/A 1 C 1 ; Доказать: АВС ~ А 1 В 1 С 1

13 Доказательство: Для того, чтобы доказать данную теорему, нужно учитывать первый признак подобия треугольников, доказанный выше. Поэтому достаточно доказать, что <B=<B 1.

14 Доказательство: Рассмотрим треугольник АВС 2,у которого <1=<A 1, <2=<B 1. <2=<B 1. ABC 2 ~A 1 B 1 C 1 (по первому признаку подобия) A B C C1C1 B1B1 A1A1 C2C2 21

15 Доказательство: Значит, AB/A 1 B 1 =AC 2 /A 1 C С другой стороны AB/A 1 B 1 =AC/A 1 C 1 (по условию).Получаем АС=АС 2 АВС и АВС 2 равны по двум сторонам и углу межу ними(АВ- общая сторона, АС=АС 2 и <A=<1,т.к <A=<A 1 и <1=<A 1 )

16 Что и требовалось доказать: Следует, что <B=<2, а так как <2=<B 1,то <B=<B 1. Теорема доказана. Теорема доказана.

17 Третий признак подобия треугольников Доказательство теоремы

18 Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Дано: АВС, А 1 В 1 С 1 AB/A 1 B 1 =BC/B 1 C 1 =CA/C 1 A 1

19 Доказать: АВС ~ А 1 В 1 С 1 A B C C1C1 B1B1 A1A1

20 Доказательство: Учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что <A=<A1. Рассмотрим треугольник АВС2,у которого <1=<A1, <2=<B1.

21 Доказательство: A C C 1 B 1 A 1 B C 2 21

22 Доказательство: Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому АВ/A1B1=BC2/B1C1 =C2A/C1A1.

23 Что и требовалось доказать: Получаем: ВС=ВС 2, СА=С 2 А. Треугольники АВС и АВС 2 равны по трем сторонам. отсюда следует, что <А=<1,а так как <1=<A 1, <A=<A 1.

24 Выполнила ученица 10Б Смоленышева Анастасия