Тема: Дійсні числа. Числові функції Математика, 10клас Рівень стандарту

Тема: Дійсні числа. Числові функції Роботу виконала: вчитель математики Вільшанської ЗОШ І-ІІІст. Городищенського району Нечипоренко Валентина Степанівна

Все впорядковується відповідно до чисел. Піфагор Де це можливо, рахуйте. Ф. Гальтон Рахунок і обчислення – основа порядку в голові. Песталоцці У вивчення природи математика робить найбільший внесок. Прокл, V ст.

Науку математику можна розглядати з різних точок зору. Одні у ній бачать своєрідний інструмент для науковців, інженерів, техніків. За допомогою математичного моделювання можна легко і швидко розв'язувати дуже важливі проблеми. Математика основа багатьох наук, а ще вона – логічний тренінг мислительної діяльності для фахівців з будь-якої галузі знань. Знати математику – це насамперед уміти користуватися нею. Учитися користуватися математичними знаннями найкраще під час розв'язування задач. Математика – це великий і барвистий квітник, у якому кожен може дібрати собі букет за смаком. Сміливо входьте в цей квітник!

Піфагор Самоський (бл.580р.-500р. до н.е.) Давньогрецький математик, філософ. Організував свою школу. Досліджував проблеми теорії чисел, геометрії, гармонії, астрономії. Вважав, що все визначають числа. Досліджував різні види чисел: парні, трикутні, квадратні, досконалі, дружні.

Дійсні числа та обчислення. На кожному етапі розвитку суспільства людина розвивала свої обчислювальні навички. І сьогодні кожній людині не можна обійтися без певних обчислень. Знання з виконання цих обчислень використовують учні на уроках фізики, хімії та інших предметів. Вивчаючи дану тему будемо: узагальнювати та розширювати знання про дійсні числа; узагальнювати та розширювати знання про дійсні числа; удосконалювати вміння виконувати дії над дійсними числами; удосконалювати вміння виконувати дії над дійсними числами; удосконалювати вміння знаходити значення величин за формулами; удосконалювати вміння знаходити значення величин за формулами; виконувати обчислення, використовуючи різні одиниці вимірювання; виконувати обчислення, використовуючи різні одиниці вимірювання; виконувати дії над ірраціональними числами. виконувати дії над ірраціональними числами.

Важливу роль у математиці відіграють числа Цифри – це знаки, якими позначають числа. Натуральні числа – це числа, які використовують під час лічби. Натуральних чисел безліч, а цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5. 6, 7, 8, 9. Цілі числа – це натуральні числа, протилежні їм числа та число 0. Раціональні числа – це числа, які можна подати у вигляді відношення, де m- ціле число, а n- натуральне. Кожне раціональне число можна записати у вигляді скінченного або нескінченного періодичного дробу. Існують числа, відмінні від раціональних. Ірраціональні числа – це числа, які не можна подати у вигляді відношення двох цілих чисел. Дійсні числа - це усі раціональні й ірраціональні числа. Комплексні числа – числа виду a+bi, де a і b – довільні дійсні числа, а i- уявна одиниця. Уявні числа – це такі комплексні числа, які не є дійсними.

Круги Ейлера

Кожному дійсному числу на координатній прямій відповідає єдина точка і кожній точці координатної прямої – єдине дійсне число

Системи числення У десятковій системі числення рахують одиницями, десятками, сотнями та іншими степенями числа 10. У дванадцятковій системі числення рахують дюжинами. У двійковій системі числення рахують одиницями, двійками, четвірками та іншими степенями числа 2. Для позначення чисел у двійковій системі досить двох цифр 0 і 1. Об'єднавши ЕОМ з телевізором, створили комп'ютери. Цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 називають арабськими або індійськими. Іноді числа позначають римськими цифрами Римська І V Х L C D M Римська І V Х L C D M Арабська Арабська Місяці, що мають 30 днів: IV (квітень) i VI(червень) та IX(вересень) i XI(листопад)

Типові завдання А- початковий і середній рівні Б – достатній та високий рівні 1. Обчисліть зручним способом:

2. Знайти невідомий член пропорції:

3. Обчисліть значення виразу: 4. Порівняйте значення величин:

5. А) Що більше: Б) Доведіть, що

Цікаві вправи Продовж обчислення 9·9+7=88 9 ·98+6=888 9 ·987+5= 9 ·9876+4= 11 2 = = = =

Відсотки Відсоток(процент) - це сота частина числа. 1%=0,01; 10%=0.1; 100%=1; 50%=0,5; 25%=0,25 Відсотки були відомі індійцям ще в V столітті. Це закономірно, бо в Індії з давніх-давен рахунок вівся в десятковій системі числення. В Європі десяткові дроби появилися на 1000 років пізніше, їх ввів бельгійський учений С. Стевін. В 1584 році він вперше опублікував таблицю відсотків. Проміле – це одна тисячна частина (1=0,001). Пробами характеризуються сплави дорогоцінних металів. В Україні законом встановлено такі проби: для золота – 375, 500, 583, 750, 958; для золота – 375, 500, 583, 750, 958; для срібла – 800, 875, 916. для срібла – 800, 875, 916.

Відсоткові розрахунки Багатьом фахівцям часто доводиться виконувати обчислення за умови, що деякі значення виражено у відсотках. Коротко їх називають відсотковими розрахунками. Часто відсоткові розрахунки доводиться виконувати бухгалтерам, працівникам банків, хімікам-технологам, економістам. Вивчаючи тему Відсоткові розрахунки ви узагальните знання про відсотки, будете удосконалювати вміння і навички розв'язувати задачі на відсотки, зокрема задачі на прості та складні відсотки.

Задачі на відсотки

1. Знайти число, 40% якого дорівнюють 8; 40; Виразіть у відсотках відношення: 3. Знайдіть 10% від числа 260; 5000; 80. 8:100; 7:10; 13:10; 17/ Скільки сухої ромашки можна одержати із 60 кг свіжої, якщо вона при сушінні втрачає 84% своєї маси? 5. Спочатку ціну товару підвищили на 10% а потім знизили на 10 % відсотків. Як змінилася ціна на цей товар у результаті двох переоцінок? 6. З молока виходить 10% сиру. Скільки молока треба щоб вийшло 50 кг сиру? 7. У яку суму перетворяться 8000 грн. через 3 роки, якщо банк виплачує 19% річних ?

Цікаві задачі 1.Скільки треба долити води до 0,5 л 9% оцту, щоб одержати 6% оцет? 2. Підприємець цікавиться: скільки золота 375-ої проби треба сплавити із 20г 750-ої проби, щоб одержати сплав 500-ої проби. 20г 750-ої проби, щоб одержати сплав 500-ої проби. 3. Говорять, що гетьман Полуботок у 1723 р. поклав до англійського банку великий капітал з України під 4% річних. У скільки разів збільшився б тоді капітал до 2010 року? 4. У шкільній їдальні харчуються 100 учнів нашої школи. На кожен день для одного учня потрібно 15г цукру. У наступному році школі виділяють 1 га землі для користування. Яку площу треба засіяти цукровими буряками, щоб цукру вистачило для учнів школи на рік? У наступному році школі виділяють 1 га землі для користування. Яку площу треба засіяти цукровими буряками, щоб цукру вистачило для учнів школи на рік?

Числові функції Одним із найважливіших понять математики є функція. З її допомогою моделюють і досліджують різноманітні процеси, що відбуваються навколо нас. Існують прилади – термографи, які самі креслять графік температури. Графіком функції є також кардіограма, накреслена кардіографом. Лікар за графіком діагностує роботу серця. Людину цікавить стан земної кори. Цей стан фіксує сейсмограф, попереджаючи про землетруси або фіксуючи їх. Багатьом фахівцям треба вміти читати різні графіки. Графіки повинні вміти читати і учні, оскільки на уроках економіки їм доведеться будувати чимало графіків, зокрема графіки попиту і пропозиції.

Перший в світі сейсмограф "Дракон,що грається з жабами" або перший в світі сейсмограф. У стародавньому Китаї в період династії Хань часто траплялися землетруси. У народі панував страх з приводу цього таємничого явища природній стихії. Імператор, не знаючи, чим він прогнівав Небесного владику, вирішив підвищити оподаткування по всій країні, щоб зробити багаті жертвопринесення. В цей час в Китаї жив видатний учений на ім'я Чжан Хен, який займався не тільки астрономією, але і географією, механікою, математикою і сейсмологією. Він вважав, що землетрус – це всього лише одне з природних явищ, яке варто вивчати. Після багаторічних шукань він створив перший в світі своєрідний сейсмограф, який, як свідчать історичні хроніки, досить точно передбачив декілька землетрусів, які відбулися в Лояні - тодішній столиці Піднебесної, а також могутній землетрус в провінції Ганьсу.

Принцип роботи сейсмографа та сучасний сейсмограф Використовуючи свідчення сейсмографів (приладів тих, що безперервно фіксують коливання грунту і що будують спеціальні графіки - сейсмограми), геологи можуть передбачити наближення землетрусу або цунамі.

Кардіограф Лікарі виявляють хвороби серця, вивчаючи графіки, отримані за допомогою кардіографа, їх називають кардіограмами.

Кардіограми

Крива попиту і пропозиції

Означення функції Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини D відповідає єдине значення змінної у, то таку відповідність називають функцією. Позначають: f, f(x) або y = f(x) х – незалежна змінна, або аргумент; y– залежна змінна, або значення функції. Наприклад. Функції: а) у=4х-1 – лінійна функція; б) у=1/3х – пряма пропорційність; в) у=-10/х – обернена пропорційність. D – область визначення функції – всі допустимі значення аргументу. Наприклад. Область визначення функції: а) у = -9х+5; D(у) =(-;+ ); б) у=2/(х-3); D(у) =(-;3)Ư(3;+ ).

Множина значень функції f(x) – всі значення, яких набуває залежна змінна і позначається літерою Е. Наприклад. Область значень функції: а) у = -8х; Е(у) = (-;+ ); б) у = х 2 Е(у) = [0;+ ); б) у = х 2 ; Е(у) = [0;+ ); Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. Нулями функції називаються значення аргументу, при яких функція дорівнює нулю. Щоб знайти нулі функції y = f(x), f(x)=0. Щоб знайти нулі функції y = f(x), треба розв'язати рівняння f(x)=0. Наприклад. Знайдемо нулі функції у=-5х-17. Розв'язання: -5х-17=0 -5х=17х=-3,4 Відповідь: -3,4. Множина значень. Графік функції. Нулі функції.

Способи задання функції Функція задається: за допомогою формули; за допомогою формули; словесно; словесно; таблицею; таблицею; графічно. графічно. Використовуючи графічний спосіб, ми не завжди точно можемо знайти значення аргумента або функції. Широко використовується спосіб задання функції за допомогою формули (аналітично).

Проміжки знакосталості. Неперервна функція. Проміжки знакосталості – це проміжки з області визначення функції, на яких дана функція набуває додатних або від'ємних значень. Щоб знайти ці проміжки треба розв'язати нерівності: f(x)>0 – додатні значення; f(x)<0 – від'ємні значення. f(x)<0 – від'ємні значення. Наприклад. Знайти проміжки знакосталості функції у=х 2 Наприклад. Знайти проміжки знакосталості функції у=х 2. Розв'язання: Оскільки х 2 Розв'язання: Оскільки х 2 - невід'ємне число при, то у>0, при Від'ємних значень дана функція не набуває. Неперервною функцією називають таку функцію, графіком якої є неперервна лінія (її можна провести, не відриваючи олівець від паперу).

Парність і непарність функції Функції є такі: а) парні; б) непарні; в) ні парні, ні непарні. Функція y = f(x) – f(-x)= f(x). Функція y = f(x) – парна, якщо її область визначення симетрична відносно 0 і для кожного значення х з області визначення f(-x)= f(x). Графік парної функції симетричний відносно осі Оу. y = f(x) – f(-x)= -f(x). Функція y = f(x) – непарна, якщо її область визначення симетрична відносно 0 і для кожного значення х з області визначення f(-x)= -f(x). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат. Наприклад. Дослідити на парність функцію: у=х 2 +х 4. D(у) =(-;+ ) – Розв'язання: D(у) =(-;+ ) – симетрична відносно 0. у(-х) = (-х) 2 +(-х) 4 =х 2 +х 4. Оскільки у(-x)= у(x), то функція у=х 2 +х 4 - парна.

Монотонність. Функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції. Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції. Наприклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції у=х 2 Наприклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції у=х 2. у=х 2 Розв'язання: Функція у=х 2 спадає при, зростає при

Схема дослідження графіка функції. Щоб вивчити процеси і явища навколишнього світу, потрібно вміти досліджувати відповідні функції. Дослідити функцію – це означає виявити її найважливіші властивості: 1. Вказати область визначення; 2. Вказати область значень; 3. З'ясувати, чи є дана функція парною або непарною; 4. Знайти точку перетину графіка функції з віссю у; 5. Знайти нулі функції та проміжки знакосталості; 6. Визначити проміжки зростання чи спадання. Узагальнивши все, побудувати графік функції.

Продовж речення 1. Відповідність називається функцією, якщо … 2. х називають … 3. у називають… 4. Значення, яких може набувати аргумент – це… 5. Значення, яких може набувати функція – це… 6. Парною називається функція, якщо … 7. Функція непарна, якщо … 8. Значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 0 – це … 9. Проміжки, на яких функція не змінює знак – це…

Перетворення графіка функції y=-f(x) Графік функції y=-f(x) отримаємо перетворенням симметрії графіка функції y=f(x) відносно осі x.

Перетворення графіка функції y=f(-x) Графік функції y=f(-x) отримаємо перетворенням симетрії графіка функції y=f(x) відносно осі y. y=f(-x) отримаємо перетворенням симетрії графіка функції y=f(x) відносно осі y.

Перетворення графіка функції y=f(x-a) Графік функції y=f(x-a) отримаємо в результаті паралельного перенесення графіка функції y=f(x) вздовж осі x на |a| вправо при a>0 и вліво при a 0 и вліво при a<0.

Перетворення графіка функції y=f(x)+b Графік функції y=f(x)+b отримаємо в результаті паралельного перенесення графіка функції y=f(x) вздовж осі y на |b| одиниць, вгору при b>0, вгору при b>0, вниз при b<0. вниз при b<0.

Перетворення графіка функції y=| (x)| Перетворення графіка функції y=| f (x)| Частина графіка у верхній півплощині і на осі абсцис без змін, а замість частини графіка в нижній півплощині будуємо симетричну їй відносно осі ох.

Перетворення графіка функції y= ( x|) Перетворення графіка функції y= f ( x|) Частину графіка для х 0 симетрично відображаємо відносно осі оу.

Перетворення графіка функції y=k (x) Перетворення графіка функції y=k f (x) П k >1 розтяг від точки (0;0) вздовж осі ординат в k раз. k k При 0< k <1 стиск до точки (0;0)вздовж осі ординат в 1/ k раз.

Перетворення графіка функції y= ( x) Перетворення графіка функції y= f ( x) >1 Графік функції >1 Графік функції y= ( x) отримаємо в результаті стискання графіка функції y=f(x) вздовж осі x в раз y= f ( x) отримаємо в результаті стискання графіка функції y=f(x) вздовж осі x в раз 0< <1 Графік функції y=f( x) отримаємо в результаті розтягу графіка функції y=f(x) вздовж осі x в 1/ раз.

Література 1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5- 12кл., Київ, Ірпінь, 2005р. 2. Г.П.Бевз, В.Г.Бевз. Математика10кл. Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень стандарту. 3. Журнал Математика в школах України. Червень 2010р. 4. Алгебра і початки аналізу. Плани і конспекти уроків. Майстер-клас. Харків.. Видавництво «Світ дитинства » 2002р. 5. О.В.Скляренко. Комплексний зошит для контролю знань з алгебри і початків аналізу. ТОВ Видавництво «Ранок», 2010р. 6. Математика. Я пізнаю світ. Дитяча енциклопедія. Київ. Видавництво «Школа»2002р. 7. Про математику і математиків. Висловлювання видатних діячів минулого і сучасного. Київ «Радянська школа» 1981р. 8. А.Г.Конфорович, А.Г Груніна «Математичні вечори у восьмирічній школі» Видавництво «Радянська школа». Київ. 1974р. 9. Энциклопедический словарь юного математика. Издательство «Педагогика»,1985г. 10. Н.О.Мальцева, Т.Г. Роєва. Алгебра і початки аналізу. Перші кроки до ЗНО 9-12 кл. Харків,2009р.