определения Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, радиусом окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Свойства окружностей Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).касательная Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Свойство касательной. О r Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. А В Признак касательной (обратное утверждение). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Свойство отрезков касательных О С А В Это легко доказать

Теорема о касательной и секущей Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC² = MAMB.

Теорема о секущих: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MAMB = MCMD.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Углы и отрезки, связанные с окружностью. Основные понятия: 2.Хорда.Свойства хорд. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AMMB = CMMD.

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны. Если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности. Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны. Если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности. Большая из двух хорд находится ближе к центру окружности Свойства хорд

А ВС А В ОО Центральный угол Вписанный угол Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

О Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. В N M АСF

О Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой. ВN MА С F

Углы между хордами, касательными и секущими β γ α Угол между пересекающимися хордами: γ α β Угол между секущими, пересекающимися вне окружности:

γ γ α α

D В С Какие свойства нам пригодятся при решении задач о вписанной окружности и описанном четырехугольнике? А E О К Свойство касательной Свойство касательной Свойство отрезков Свойство отрезков касательных касательных F P

D В С В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. А О = ВС + AD ВА + CD

О А В D С Теорема о вписанном угле Теорема о вписанном угле Какие свойства нам пригодятся при решении задач о вписанном четырехугольнике и описанной окружности?

О А В D В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна С

Формула для радиуса окружности, описанной около правильного n- угольника n=3 n=4 n=6 Формула для радиуса окружности, вписанной в правильный n- угольник

Rra Если вы забыли формулы взаимосвязи между R, r и a для правильного треугольника, всегда легко их вывести. Например, можно получить эти формулы так: r С В A R aa KO т. О – точка пересечения биссектрис, высот, медиан равностороннего треугольника R Радиус описанной окружности R r Радиус вписанной окружности r Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. R = 2r Можно найти и другие способы для вывода формул. n=3

Повторение. Rra Повторение. Если вы забыли формулы взаимосвязи между R, r и a для правильного четырехугольника (квадрата), всегда легко их вывести. Например, можно получить эти формулы так: r С В A R aa K т. О – точка пересечения диагоналей квадрата r Радиус вписанной окружности r DO 2 a r R Радиус описанной окружности R n=4 Можно найти и другие способы для вывода формул.

Rra Если вы забыли формулы взаимосвязи между R, r и a для правильного шестиугольника всегда легко их вывести. Например, можно получить эти формулы так: r A R aa т. О – точка пересечения биссектрисшестиугольника R Радиус описанной окружности R r Радиус вписанной окружности r n=6 K O Треугольник АОМ равносторонний М Можно найти и другие способы для вывода формул.