Топологические инварианты и расправление плоских контуров Веселовский Павел, ученик 9 класса гимназия 2 г. Самары

Цель исследования: научиться определять, расправляем ли контур, не трогая его руками. Для этого ответим на следующие вопросы: Как формализовать задачу? Какие численные характеристики контура являются топологическими инвариантами? При каких значениях найденных инвариантов контур можно расправить? Достаточен ли данный набор инвариантов? Можно ли автоматизировать процесс определения найденных инвариантов для произвольно заданного контура?

Представим себе сделанную из тонкой проволоки окружность, плавно изогнем ее в пространстве, придав ей более сложную форму и бросим на плоскость. Понятно, что в пространстве полученные контур всегда можно расправить в окружность.

Число вращений – инвариант R Выбрав какое-то направление обхода, обойдем плоскую кривую и вернемся в начальную точку. Во время обхода касательный вектор как-то поворачивался и в конце вернулся в исходное положение (отметим, что в каждой точке кривой касательный вектор корректно определён, потому что мы рассматриваем только невырожденные кривые). Значит, вектор совершил целое число поворотов. Это неотрицательное целое число назовём числом вращения кривой (обозначим его V). Число вращения, очевидно, не зависит от выбора начальной точки и направления обхода, то есть корректно определено для данного контура.

Число перекруток – инвариант V Выберем на контуре направление обхода. Поставим около каждой двойной точки число +1, если нижний вектор скорости направлен влево от верхнего, и –1, если вправо (легко увидеть, что при другом направлении обхода получатся те же числа). Инвариант R равен сумме поставленных чисел (иначе говоря, это суммарная ориентация пар касательных векторов в точках самопересечения). Например, контур на рисунке положительные и 4 отрицательные двойные точки, поэтому R равен –1. Следовательно, этот контур на плоскости расправить нельзя.

Основная теорема Контур расправляется в окружность V=1, R=0