Теоремы об отрезках, связанных с окружностью Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Теорема об отрезках пересекающихся хорд Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды М А В C D Доказать: СМMD=AMMB Доказательство: (используйте рекомендации) Дано: АВ и СD – хорды окружности; причём АВ СD = М Сделайте заключение об углах 1 и Сделайте заключение об углах 3 и Сделайте заключение о ΔМВС и ΔMDА. 5. Запишите пропорцию, которая следует из подобия ΔМВС и ΔMDА. 6. Запишите равенство, используя основное свойство пропорции; сравните его с тем, что надо было доказать 1. Проведите хорды ВС и AD

Теорема о квадрате отрезка касательной Произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной Дано: МВ ̶ секущая, МК ̶ касательная, М ̶ точка вне окружности, К ̶ точка касания, А и В точки пересечения окружности и секущей МВ М К А В Доказать: МВMА=MК ² Доказательство: (если нужно, используйте рекомендации) 1. Проведите хорды AК и КВ Сделайте заключение об углах 1 и Сделайте заключение о ΔМВК и ΔMКА. 4. Запишите пропорцию, которая следует из подобия ΔМВК и ΔMКА. 5. Запишите равенство, используя основное свойство пропорции; сравните его с тем, что надо было доказать

О С А В В решении задач часто приходится использовать свойство отрезков касательных Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны

О С А В Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, образуют равные углы прямой, проходящей через эту точку и центр окружности

О А С В 820 – рекомендации к решению Окружность касается сторон АВ и АС ΔАВС и пересекает сторону ВС в точках Р и Q, BP=CQ Докажите, что ΔАВС равнобедренный. РQ МN Доказательство: (если нужно, используйте рекомендации) 1) Примените свойство отрезков касательных, проведённых из точки А 2) Примените свойство касательной и секущей, проведённых из точки В 3) Примените свойство касательной и секущей, проведённых из точки C 4) Учтите, что BQ = BP + PQ; CP = CQ + PQ; BP=CQ (по усл.) и сделайте вывод о длине отрезков ВМ и СN 5) Используйте результаты шагов 1) и 4) для сравнения отрезков АВ и АС и вывода о виде ΔАВС

Рекомендации к решению задач 818 и 819 Геометрия 10-11, Атанасян Л. С. (издания!!! 15-18) 818 Прямая АС – касательная к окружности с центром О 1, а прямая BD – касательная к окружности с центром О 2. Докажите, что а) ADBC; б) АВ² =AD BC; в) BD² : AC² = AD:BC

818 (используйте рисунок 208 учебника) О 1 О 2 А В С D 1 2 1) Сделайте заключение об углах 1 и ) Сделайте заключение об углах 3 и 4 3) Учитывая шаги 1) и 2) сделайте заключение о ΔDВA и ΔАCB. 4) Cделайте заключение об углах DAВ и CBА, определите их вид, сделайте заключение об AD и ВС 5) Запишите пропорцию, следующую из подобия ΔDВA и ΔАCB; примените к ней основное свойство пропорции, сравните с равенством б) Доказательство: рекомендации к а) Рекомендации к б) Рекомендации к в) 6) Запишите 2 пропорции, где участвуют стороны, показанные на рисунке красным, зелёным и синим цветом, перемножьте их (левую часть на левую, правую на правую), полученное равенство сравните с равенством в)

819 О В D О1О1 М А СN Р Точка М лежит внутри четырёхугольника АВСD. Докажите, что тогда и только тогда, когда окружности, описанные около ΔАВМ и ΔMCD, имеют в точке М общую касательную Доказательство:(если нужно, используйте рекомендации) 1)Сделайте заключение об углах 1 и 2 2) Сделайте заключение об углах 3 и 4 3) Сделайте заключение, из каких углов составлен угол AMD 4) Запишите соответствующее равенство 5) Учитывая шаги 1) и 2) сделайте переход к равенству

Всем успехов в решении задач и в приобретении навыков – быть доказательным, аргументированным в любой дискуссии. Е. А.