Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла

Содержание Определение неопределенного интеграла и его обозначение Интегрирование функции Правила интегрирования Свойство 1 неопределенного интеграла Свойство 2 неопределенного интеграла Свойство 3 неопределенного интеграла Свойство 4 неопределенного интеграла Свойство 5 неопределенного интеграла Нахождение интеграла элементарных функций по свойствам Таблица интегралов

Определение неопределенного интеграла и его обозначение Множество первообразных для данной функции f (x) называется неопределенным интегралом и обозначается следующим образом: f (x) dx = F (x) + C. При этом f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, x – постоянной интегрирования, F (x) – какая-нибудь первообразная от функции f (x).

Интегрирование функции Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции. Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.

Правила интегрирования 1. Для получения неопределенного интеграла от данной функции f (X) необходимо найти одну из ее первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную. 2. Для проверки правильности полученного результата необходимо помнить, что производная от результата интегрирования должна равняться подынтегральной функции.

Свойство 1 неопределенного интеграла Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – по интегральному выражению: Это свойство следует из определения неопределенного интеграла.

Свойство 2 неопределенного интеграла Неопределенный интеграл от производной функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной или Действительно, Возьмем интеграл от обеих частей этого равенства и получим но, по определению, т.е.

Свойство 3 неопределенного интеграла Если две функции или два дифференциала тождественны, то неопределенные интегралы от них могут отличаться лишь на постоянное слагаемое. Это свойство следует из того, что две первообразные для одной и той же функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Свойство 4 неопределенного интеграла Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: где Пример 1. Найти Решение.

Свойство 5 неопределенного интеграла Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов: Пример 2. Найти Решение.

Нахождение интеграла элементарных функций по свойствам Пример 1. Найти Решение. Найдем производную функцию Из свойства 2, согласно которому следует, что

Нахождение интеграла элементарных функций по свойствам Пример 2. Найти Решение. Из таблицы производных основных элементарных функций имеем: причем равенство верно при x>0, если же x<0, то оно принимает вид Следовательно, согласно свойству 2 будем иметь

Таблица интегралов