КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8 класс Учитель математики ПВПШ1 Сеноженская Г. С. 5klass.net

ОО пп рр ее ддт ее лол ее инн ии ее к к к к вввв аапа ддт рр аапа тттт инн ооо гг ооо уууу рр аапа вввв инн ее инн ии яя ВВ ии ддт ыыыы к к к к вввв аапа ддт рр аапа тттт инн ыыыы хох у у у у рр аапа вввв инн ее инн ии йййй РР ее ш-ш ее инн ии ее к к к к вввв аапа ддт рр аапа тттт инн ыыыы хох уууу рр аапа вввв инн ее инн ии йййй

Квадратные уравнения-это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. В школьном курсе математики изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений,которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберём некоторые из них.

Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, x-переменная, a, b,c - некоторые числа, a 0, называется квадратным уравнением. Примеры: 8x 2 +3x-5=0, 4x 2 +6x=0, 3x 2 -4=0.

Виды квадратных уравнений Неполные ax 2 +bx=0 ax 2 =0 ax 2 +c=0 Полные ax 2 +bx+c=0, a 0, b 0, c 0, x 2 +px+g=0 приведённое квадратное уравнение

Решение неполных квадратных уравнений ax 2 +bx=0, ax 2 =-c, 3x 2 -12=0, 3x 2 =12, x 2 =12:3, x 2 =4, x 1 = -2, x 2 =2. Ответ:-2; 2.

ax 2 =0, x 2 =0, x=0. 2x 2 =0, x 2 =0, x=0. Ответ: 0. Ответ: 0; ax 2 +bx=0, x(ax 2 +b)=0, x=0, ax+b=0, 5x 2 -2x=0, x(5x-2)=0, x=0, 5x-2=0,

уравнений разложение левой части на множители; метод выделения полного квадрата; с применением формул корней квадратного уравнения;с применением формул корней квадратного уравнения; с применением теоремы Виета; способом «переброски»; по сумме коэффициентов квадратного уравнения;по сумме коэффициентов квадратного уравнения; графический. Способы решения квадратных

Разложение левой части на множители x 2 +10x-24=0, x 2 +12x-2x-24=0, x(x+12)-2(x+12)=0, (x-2)(x+12)=0, x-2=0, x+12=0, x=-12. Ответ: -12; 2. Решите уравнения: x 2 -4x+4=0, x 2 +6x+9=0, x 2 +4x+3=0, x 2 +2x-3=0.

Метод выделения полного квадрата a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Метод выделения полного квадрата (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 x 2 +6x-7=0 x 2 +2·3·x =0 (x+3) 2 -16=0 (x+3) 2 =16 x+3=-4, x+3=4 x=-7 x=1 Ответ: -7; 1. x=1 Ответ: 0,4; 1.

Решите уравнения методом выделения полного квадрата 5x 2 -3x-2=0

С использованием формул корней квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0, a 0, D>0 - два корня, D=0 - один корень, D<0 - нет корней

Примеры: Ответ:

Решите уравнения,применяя формулу корней квадратного уравнения

С использованием теоремы Виета x 2 +px+g=0, Если x 1,x 2 - корни уравнения, то x 1 +x 2 = -p, x 1 +x 2 =g x 2 -2x-15=0 D>0, два корня, по теореме, обратной теореме Виета, имеем: x 1 +x 2 =2, x 1 =5, x 1 ·x 2 =-15; x 2 =-3. Ответ: 5; -3. Решите уравнения: x 2 +2x-8=0 x 2 +10x+9=0 x 2 -12x+35=0 x 2 -2x+1=0

Способ «переброски» ax 2 +bx+c=0,a 0 Умножим обе части уравнения на a a 2 x 2 +bax+ca=0 Пусть ax=y,тогда y 2 +by+ca=0 Корни уравнения найдём по теореме, обратной теореме Виета, или по сумме коэффициентов. ax 1 =y 1, ax 2 =y 2 x 1 =, x 2 = По теореме, обратной теореме Виета, имеем:

Решите уравнения методом «переброски»

По сумме коэффициентов квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0, a Если a+b+c=0, то x 1 =1, x 2 = 2. Если a-b+c=0, то x 1 =-1, x 2 = Примеры: 5x 2 -7x+2=0 3x 2 +5x-8=0 839x x-391=0 11x 2 +25x-36=0 Т.к =0, то x 1 =1, x 2 = Ответ: ;1.;1.;1.;1. 5x =0 Т.к =0 x 1 =-1, x 2 = Ответ: -1;

Графический ax 2 +bx+c=0, a 0 ax 2 =-bx-c y=ax 2 - графиком является парабола y=-bx-c - графиком является прямая Возможны следующие случаи : Прямая и парабола могут касаться(только одна общая точка),т.е.уравнение имеет одно решение; прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; прямая и парабола не имеют общих точек, т.е уравнение не имеет корней.

x 2 -2x-3=0 x 2 =2x+3 y=x 2 - парабола y=2x+3 - прямая Прямая и парабола имеют две общие точки. Ответ:-1; 3.

x 2 -2x+1=0 x 2 =2x-1 y=x 2 - парабола y=2x-1 - прямая Прямая и парабола имеют одну общую точку. Ответ:1.

x 2 -2x+5=0 x 2 =2x-5 y=x 2 - парабола y=2x-5 - прямая Прямая и парабола не имеют общих точек. Ответ:корней нет.

уравнения Решите графически уравнения