МОУ «Средняя общеобразовательная школа с. Погорелка Шадринский район Курганская область Учитель математики первой квалификационной категории Кощеев М.М.

Цели : Научиться применять интегрирование функций в качестве одного из способов решения задач на нахождение объёмов геометрических тел. Развитие логического мышления, пространственного воображения, умений действовать по алгоритму, составлять алгоритмы действий. Воспитание познавательной активности, самостоятельности.

h A A1A1 B B1B1 C C1C1 M(х) M1M1 Объем пирамиды Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту 1. Д ДД Дана треугольная пирамида O X OX (АВС), OX (АВС)=М; OX (A 1 B 1 C 1 )=М1 Х- абсцисса точки М; S(x)-площадь сечения; S-площадь основания ABC A 1 B 1 C 1 так, как АВ А 1 В 1 ; АС А 1 С 1 ; ВС В 1 С 1 АВ:А 1 В 1 =k ОА:ОА 1 = k; аналогично ВС:В 1 С 1 =АС:А 1 С 1 =k; S:S(x)=k² ; A MO M 1 A 1 O 1 OM:OM 1 =k; ОМ 1 :ОМ=Х:h k=Х:h; S :S(x)=(Х:h)²= k ² S(×)=(S*ײ):h²

S 1 + S 2 + S 3 S1S1 S2S2 S3S3 h V=1/3*( S1+ S2+ S3)*h Объем пирамиды, имеющей в основании многоугольник. Следствие : Объем усеченной пирамиды, высота которой h, а площади оснований SuS1, вычисляется по формуле: α α1α1 φ φ1φ1 М М1М1 O

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO= H. A B C S O H O1O1 h Построим сечение пирамиды, параллельное плоскости основания и находящееся на расстоянии h от её вершины. Т.к. ABC A 1 B 1 C 1, то по свойству площадей подобных фигур : A1A1 C1C1 B1B1 h [0; H ] Т.к. h – изменяющаяся величина, то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h, где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

h H Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты. h [0; H ]

На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы. H S осн.1 = S осн.2 V 1 = V 2 h S сеч.1 = S сеч.2

A B C B1B1 A1A1 C1C1 C A1A1 B Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA 1 B 1 C 1. 1)Разобьем её на две части секущей плоскостью (A 1 BC). 2)Получились две пространственные фигуры: треугольная пирамида A 1 ABC и четырехугольная пирамида A 1 BCC 1 B 1 (обе пирамиды с вершиной A 1 ).

AC B1B1 A1A1 C1C1 C A1A1 BB Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A 1 BCC 1 B 1 секущей плоскостью (A 1 C 1 B) на две треугольные пирамиды: A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 (обе пирамиды с вершиной A 1 ). A1A1 C1C1 B

A C B1B1 A1A1 C1C1 C A1A1 B B A1A1 C1C1 B У треугольных пирамид A 1 ABC и BA 1 B 1 C 1 основания равны (как противоположные основания призмы) и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны. У треугольных пирамид A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A 1. Значит, их объемы также равны.

A C B1B1 A1A1 C1C1 C A1A1 B B A1A1 C1C1 B Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны: Значит, объем пирамиды в три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.

h H h Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием площади сечения, как функции, зависящей от расстояния h : h [0; H ] 0

Рассматривая произвольную n -угольную пирамиду SA 1 A 2 …A n как сумму треугольных пирамид с общей вершиной и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды: S A3A3 AnAn A2A2 A1A1 H

Итак, для любой n -угольной пирамиды:,где S осн. – площадь основания пирамиды, H – высота пирамиды.

Решение задач по готовым чертежам (стр 184) A B C Д O Дано: АВСД- правильная пирамида. АВ=3, АД=23 Найти: а) S осн., б) АО, в) ДО, г) V-? Решение: S осн. =( используем формулу для вычисления площади правильного ) = а) S осн. =а 2 3/4 = 93/4. б) АО=R=h*2/3= а 3/3(формула радиуса описанной окружности через сторону правильного ). АО= 33/3=3 Ответ:S осн =93/4, АО=3, ДО=3, V=93/4 в) ДО=H= АД 2 -АО 2 ( по теореме Пифагора ) ДО= 2(3) 2 - (33/3) 2 = 12-9/3 = 9 =3 г) V=1/3 *S осн. *Н 3 = 1/3*93/4*3=93/4

Решение задач по готовым чертежам (стр 184) A B C Д O Дано: АВСДF- правильная пирамида. <FСО=45 0, FО=2. Найти: а) S осн., б) V-? Решение: Рассмотрим FCO: 1) Из FCO: <O=90 0, <С=45 0, значит, <F=45 0. Следовательно, FCO- равнобедренный, ОС=FО=2. 2)АС=2ОС=4, d=АС=АД=2 (по свойству диагонали квадрата, d 2 =2 а 2 ). Тогда АД=АС/2 =4/2 =22. Ответ:S осн =8, V=5*1/3 3) АВСД- квадрат (пирамида правильная). S осн. =АД 2 =(22) 2 =8 г) V=1/3*S осн. *h=1/3*8*2=16/3=5*1/3. F 45 0

Дано: АВСДЕКF-правильная пирамида.FО (АВС), FМАК, FO=4, FМ=5. Найти:а) S осн. =? б) V=? Решение: S1S1 h 1. Рассмотрим треугольник FОМ: <О=90 0 (так как FО (АВС), значит FО ОМ), FO=4, FМ=5, ОМ=МF 2 -FO 2 (по теореме Пифагора) ОМ=25-16 =9=3, ОМ=r (радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник ). АК=2r*tdП/6=2*3*tdП/6= 6*3/3=23. Решение задач по готовым чертежам (стр 185) Ответ: S осн. =183 ед 2, V=243 ед 3. М С В F А К Е Д 2. S осн. =6*S АОК =1/2*АК*ОМ=1/2*23*3=33. S осн. =6*33= V=1/3*S осн. *H, V=1/3*183*4=243. О

Свойство объемов 1 Равные тела имеют равные объемы Свойство объемов 2 Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел. Свойство объемов 3 Если одно тело содержит другое, то объем первого тела не меньше объема второго.

Домашнее задание П. 69, 684 а, 686 а, 687.

Библиография Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев «Геометрия, 10-11», М., Просвещение, 2007 В.Я. Яровенко «Поурочные разработки по геометрии», Москва, «ВАКО», 2006