РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Координатным и векторным способом Алферова Наталья Васильевна, учитель математики МКОУ «Горячеключевская СОШ» Омского района Омской области

Основные понятия Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра к данным прямым Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от точки одной прямой до плоскости параллельной данной прямой и содержащей вторую прямую.

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1. х y z Точки A 1 (1;0;1), B (1;1;0) Вектор A 1 B {0;1;-1} Точки D (0;0;0), B 1 (1;1;1) Вектор DB 1 {1;1;1} Пусть КМ А 1 В и КМDВ 1, значит КМ – искомое расстояние. Пусть точка К лежит на прямой A 1 B, а точка М на прямой DB 1. Рассмотрим векторы А 1 К и DM, сонаправленные с направляющими векторами данных прямых. По лемме о коллинеарных векторах вектор А 1 К = а · А 1 В, т.е. вектор А 1 К{0;a;-a}, вектор DM = b · DB 1, т.е. вектор DM {b;b;b}. Тогда К(1;а;1-а), М(b;b;b) и вектор КМ {b-1;b-a;b-1+a}. К М

Решим систему из условия перпендикулярности двух векторов KM·A 1 B=0 0·(b-1)+1·(b-a)-1·(b-1+a) = 0, KM·DB 1 =0 1·(b-1)+1·(b-a)+1·(b-1+a) = 0 Решив систему получаем a=1/2, b=-2/3, подставим эти значения в координаты вектора КМ: КМ { -1/3; 5/6; -1/2}. Найдём длину вектора |КМ| =х²+y²+z², |КМ| =1/9+1/36+1/36=6/6. Ответ: 6/6 a·b = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 = 0

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1. K M x y z KM=MB 1 +BB 1 +BK=a·DB 1 +B 1 B+b·BA 1 DB 1 {1;1;1}, BA 1 {0;-1;1}, B 1 B{0;0;1} KM = {a; a ;a} + {0; 0; 1} + {0; -b ; b}= = {a; a- b; a+1+b} KM·BA 1 =0 0·a-1·(a-b) +1·(a+1+b)=0, KM·DB 1 =0 1·a+1·(a-b)+1·(a+1+b) = 0 b= -½, a= - KM {-1/3; 1/6;1/6} |KM|= 1/9+1/36+1/36 =6/6

1 В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВ 1 z y x Рассмотрим плоскость (А 1 В 1 С), содержащую прямую В 1 С и параллельную прямой АВ. Расстоянием между скрещивающимися прямыми будет расстояние от точки прямой АВ, например от А, до плоскости (А 1 В 1 С). Введём прямоугольную систему координат ОХУZ так, чтобы ось ОХ была параллельна высоте ВН основания, ось ОУ совпадала с АС, ось ОZ совпадала с АА 1. Н

Рассмотрим АВС в плоскости ОХУ x yAC B H ABC – правильный, АВ=ВС=АС=1, ВН=3/2. Составим уравнение плоскости (А 1 В 1 С): Ax+By+Cz+D=0. A 1 (0;0;1), B 1 (3/2; 1/2 ;1), C(0;1;0), подставляем координаты точек в уравнение плоскости, получим систему: 0A+0B+1C+D=0, (3/2)A+(1/2)B+1C+D=0, 0A+1B+0C+D=0. Получаем C=-D, B=-D, A= (3/3)D. Уравнение плоскости (А 1 В 1 С 1 ): (3/3)Dx-Dy-Dz+D=0, (3/3)x-1y-1z+1=0, Формула расстояния от точки до плоскости: d= где (х 0 ;у 0 ;z 0 )- координаты точки A, d = |3/3·0-1·0-1·0 +1| / (3/3)²+1+1 =21/7. Ответ: 21/7. х у z H

В правильной четырехугольной пирамидеSABCD, сторона основания 32, боковые ребра 5,точка М – середина ребра AS. Найдите расстояние между прямыми МD и SB. M K Из точки М проведён прямую MK параллельную SB, очевидно, что МК- средняя линия ASB, SB (KMD). Расстояние между прямыми MD и SB – это расстояние от точки прямой SB до плоскости (MDK). Введём прямоугольную систему координат ОХУZ с началом в точке пересечения диагоналей О, так чтобы ось ОХ совпадала с ОА, ось ОУ с ОВ, ось ОZ с высотой OS. Сторона квадрата 32, =>, диагональ АС=6. В прямоугольном АОS: AO=3, SO=4. Составим уравнение плоскости (MKD): Ax+By+Cz+D=0, A(3;0;0),D(0;-3;0), S(0;0;4), M(3/2;0;2) 3A+D=0 -3B+D=0 (3/2)A+2C+D=0 y x z

M K A= (- 1/3)D, B=(1/3)D, C=(-1/4)D. Уравнение плоскости (МКD): (-1/3)Dx+(1/3)Dy+(-1/4)Dz+D=0, (-1/3)x+(1/3)y+(-1/4)z+1=0. Определим расстояние от точки В(0;3;0) до плоскости (МКD) по формуле d= d= | 1+1|/1/9+1/9+1/16=41/12 Ответ: 41/12 z x y Спасибо за внимание!!!