Подобие многоугольников Подготовил ученик 8 в класса МБОУЛ «ВУВК им. А.П.Киселёва» Конторин Роман.

Презентация:

Advertisements

Похожие презентации

Определение подобных треугольников Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны.

Advertisements

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ © Т.И.Каверина, Пропорциональные отрезки Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т.е. Отрезки AB и CD пропорциональны.

Обобщенный конус Пусть F - фигура на плоскости π, и S - точка вне этой плоскости. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с точкой S, образуют фигуру в пространстве,

Теорема 1 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.

ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Афанасьева С.А. МОУ «СОШ 64» 2015 г.

Третий признак подобия треугольников. Третий признак подобия треугольников Теорема : Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам.

Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми. Подготовила: Зайцева Марианна Учитель: Васюк Наталья Викторовна.

Равносоставленность Две фигуры называются равносоставленными, если они могут быть разрезаны на одинаковое число попарно равных фигур. Из свойств площади.

Теорема 1 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.

Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются боковыми сторонами,

1 Многоугольники 1.Ломаная 2.Свойство длины ломаной 3.Выпуклые многоугольники 4.Сумма углов выпуклого многоугольника 5.Вписанный и описанный многоугольники.

Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Перпендикуляр и наклонная Урок геометрии в 10 классе.

По страницам учебника геометрии Многоугольником называется геометрическая фигура, состоящая из n вершин и n сторон.

МНОГОУГОЛЬНИКИ. A C F G B ABCDEFG- многоугольник. Отрезки AB, BC; CD, DE; EF, FG -смежные не лежат на одной прямой. Отрезки несмежные не имеют.

Теорема 1 Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник.

Определение подобных треугольников A B C A1A1 B1B1 C1C1 Если A= A 1, B= B 1, C= C 1, то стороны AB и A 1 B 1, BC и B 1 C 1,CA и C 1 A 1 называются сходственными.

ТРЕУГОЛЬНИК – ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ТРЁХ ТОЧЕК, СОЕДИНЁННЫХ МЕЖДУ СОБОЙ ОТРЕЗКАМИ ТОЧКИ – ВЕРШИНЫ. ОТРЕЗКИ – СТОРОНЫ. ДОМОЙ.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ Пусть дана плоскость π и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости π. Точку пересечения.

Изопериметрическая задача Изопериметрической задачей называют задачу о нахождении фигуры наибольшей площади, ограниченной кривой заданной длины (периметра)

Транксрипт:

Подобие многоугольников Подготовил ученик 8 в класса МБОУЛ «ВУВК им. А.П.Киселёва» Конторин Роман

Определение. Два одноименных многоугольника называются подобными, если углы одного равны соответственно углам другого и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Что такие многоугольники возможны будет видно из следующей задачи.

Задача. Дан многоугольник ABCDE и отрезок прямой a. Построить другой многоугольник, который был бы подобен данному и у которого сторона, сходственная стороне AB данного многоугольника, равнялась бы a.

Всего проще это можно сделать так. На стороне AB отложим AB 1 =a (если a>AB, то точка B 1 расположится на продолжении AB).Затем, проведя из A все диагонали, построим B 1 C 1 \\BC, C 1 D 1 \\CD, и D 1 E 1 \\DE. Тогда мы получим многоугольник AB 1 C 1 D 1 E 1, подобный ABCDE. Действительно, во-первых, углы одного из них соответственно равны углам другого; так, угол A у них общий, угол В 1 равен углу В и угол Е равен углу Е 1, как углы соответственные при параллельных, угол С равен углу С 1 и углы D 1 и D равны, так как эти углы состоят из частей, соответственно друг другу равных. Во-вторых,из подобия треугольников следует: из подобия AB 1 C 1 и ABC AB 1 :AB=B 1 C 1 :BC=A 1 C 1 :AC из подобия AC 1 D 1 и ACD AC 1 :AC=C 1 D 1 :CD=AD 1 :AD из подобия AD 1 E 1 и ADE AD 1 :AD=D 1 E 1 :DE=AE 1 :AE Так как третье отношение первого ряда равно первому отношению второго ряда равно и третье отношение второго ряда равно первому отношению третьего ряда, то, значит, все 9 отношений равны между собой. Выбросив из них отношения, в которые входят диагонали, можем написать: AB 1 :AB=B 1 C 1 :BC=C 1 D 1 :CD=D 1 E 1 :DE=AE 1 :AE. Мы видим, таким образом, что у одноименных многоугольников ABCDE и AB 1 C 1 D 1 E 1 углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны; значит, многоугольники эти подобны.

Замечание. Для треугольников, равенство углов влечёт за собой пропорциональность сторон и, обратно, пропорциональность сторон влечет за собой равенство углов; вследствие этого для треугольников одно равенство углов или одна пропорциональность сторон служит достаточным признаком их подобия. Для многоугольников же одного равенства углов или одной пропорциональности сторон ещё не достаточно для их подобия;например, у квадрата и прямоугольника углы равны, но стороны не пропорциональны, у квадрата же и ромба стороны пропорциональны,а углы не равны.

Теорема. Подобные многоугольники можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников. Например, подобные многоугольники из прошлой задачи разделены диагоналями на подобные треугольники, одинаково расположенные.

Укажем еще такой способ разложения. Возьмем внутри многоугольника ABCDE произвольную точку O и соединим ее со всеми вершинами. Тогда многоугольник ABCDE разобьется на столько треугольников, сколько в нем сторон. Возьмем один из них, например AOE (покрытый на чертеже штрихами), и на сходственной стороне A 1 E 1 другого многоугольника построим углы O 1 A 1 E 1 и O 1 E 1 A 1, соответственно равные углам OAE и OEA; точку соединим с прочими вершинами многоугольника A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. Тогда и этот многоугольник разобьется на то же число треугольников.

Докажем, что треугольники первого многоугольника соответственно подобны треугольникам второго многоугольника. Треугольник AOE подобен треугольнику A1O1E1 по построению. Чтобы доказать подобие соседних треугольников ABO и A 1 B 1 O 1, примем во внимание, что из подобия многоугольников следует: A=A 1 BA:B 1 A 1 =AE:A 1 E 1, (1) Из подобия треугольников AOE и A 1 O 1 E 1 выводим: угол OAE равен углу O 1 A 1 E 1 и AO:A 1 O 1 =AE:A 1 E 1. (2) Из равенства (1) и (2) следует: угол BAO равен углу B 1 A 1 O 1 и BA:B 1 A 1 =AO:A 1 O 1. Теперь видим, что треугольники ABO и A 1 B 1 O 1 имеют по одному равному углу, заключенному между пропорциональными сторонами; значит, они подобны. Совершенно также докажем подобие остальных треугольников. При этом очевидно, что подобные треугольники в обоих многоугольниках расположены одинаково.

Теорема. Периметры подобных многоугольников относятся как сходственные стороны. Пусть многоугольники ABCDE и A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 подобны; тогда по определению AB:A 1 B 1 =BC:B 1 C 1 =CD:C 1 D 1 =DE:D 1 E 1 =EA:E 1 A 1. Из алгебры известно, что если имеем ряд равных отношений, то сумма всех предыдущих чисел относится к сумме всех последующих, как какой-нибудь из предыдущих членов относится к своему последующему;поэтому AB+BC+CD+DE+EA:A 1 B 1 +B 1 C 1 +C 1 D 1 +D 1 E 1 +E 1 A 1 =AB:A 1 B 1 …

Гомотетия Подобие в расположении называется часто словом гомотетия, и фигуры, подобно расположенные, называются тогда гомотетичными (слово «гомотетия» означает по-гречески «подобное расположение»).

Преобразование плоскости или пространства, при котором фиксированная точка O остается неподвижной, и каждая точка X переходит в такую точку X 1, что, где k – заданное число, k ¹ 0, называется гомотетией.

Спасибо за внимание