Теорема Пифагора Автор: ученик 5 класса Поскребышев Иван

Пользуясь свойствами площадей многоугольников,мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема,которую мы докажем,называется теоремой Пифагора и является важнейшей теоремой геометрии.

Теорема В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой c (рис.1). Докажем,что c 2 = a 2 + b 2. C A B Рис.1

Достроим до квадрата со стороной a + b так, как показано на рис.2. Площадь этого квадрата равна (a+b) 2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2a*b,и квадрата со стороной c, поэтому S=4*1/2ab+c 2 =2ab+c 2. Таким образом, (a+b) 2 =2ab+c 2, откуда c 2 =a 2 +b 2. Теорема доказана. a a b c c c c a a b b b Рис.2

Теорема,обратная теореме Пифагора Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство Пусть в треугольнике ABC AB 2 =AC 2 +BC 2.Докажем, что угол c прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник A 1 B 1 C 1 c прямым углом C 1, у которого A 1 C 1 =AC и B 1 C 1 =ВС. По теореме Пифагора А 1 B 1 =A 1 C 1, и,значит,А 1 В 1 =АС 2 +ВС 2.

Но AC 2 +BC 2 =AB 2 по условию теоремы. Следовательно,A 1 B 1 =AB 2, откуда A 1 B 1 =AB. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по трем сторонам, поэтому Δ С= Δ С 1,т.е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана.