. П р и е м ы п о д г о т о в к и к Е Н Т

. П р и е м ы решений квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений по «коэффициентам» Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bx + c = 0. Если а + b + c = 0, то х 1 = 1, х 2 = с/а Если а + c = b, то х 1 = -1, х 2 = - с/а

Примеры:: 1. Решить уравнение 12 х 2 – х – 11 = 0. Решение: Так как = 0, то х 1 = 1, х 2 = -11/12 2. Решить уравнение 7 х х – 4 = 0. Решение: Так как 7 – 4 = 3, то х 1 = -1, х 2 = 4/7 Ответ: 1; -11/12. Ответ: - 1; 4/7

2 cos 2 x - 5 cos x + 3 = 0 2 – = 0, значит, cos x = 1, cos x = > 1 x = 2πn, n Z нет решений 4 х - 9· 2 х + 8 < 0, 2 2 х - 9· 2 х + 8 < 0 1 – = 0, значит, 2 х = 1, 2 х = 8 х = 0 х = 3 т.к 2 х, значит, х (0; 3)

Способ «переброски старшего коэффициента»

, х 2 = t 2 /a Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + c = 0. Умножим обе части уравнения на а, получим а 2 х 2 + а b х + ac = 0. Пусть ах = t, тогда получим уравнение t 2 + b t + ac = 0, корни которого связаны с корнями исходного формулами х 1 = t 1 /a, х 2 =

Пример: Решить уравнение 6 х 2 – 11 х – 2 = 0. Решение Заменим данное уравнение на уравнение вида t 2 – 11t – 2· 6 = 0 t 2 – 11t – 12 = 0 Так как 1 – 12 = - 11, то t 1 = -1, t 2 = 12, тогда х 1 = -1/6, х = 2.. Ответ: -1/6; 2

t 2 – 29t + 54 = 0 t 1 · t 2 = 54. t 1 + t 2 = 29, t 1 = 2 t 2 = 27, значит, =, = 9 х = - 1, х = 2 Ответ: -1; 2.

3 х 2 + х – 2 = 0 2 х 2 – 5 х – 3 = 0 3 х 2 – 8 х + 5 = 0 7 х 2 – 11 х – 6 = 0

Применение монотонности функции

Например: Решите уравнения: Решение: Левая часть данного уравнения есть сумма возрастающих функций, следовательно, является возрастающей, правая часть – постоянна. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Его легко подобрать: х = 16. Ответ: 16.

Решение: Левая часть данного уравнения есть сумма возрастающих функций, следовательно, является возрастающей, правая часть – постоянна. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Его легко подобрать: х = 7.

Решение: Левая часть данного уравнения есть возрастающая функция, следовательно, является возрастающей, правая часть – убывающая. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Его легко подобрать: х = 2. Ответ: 2.

Задачи на смеси и сплавы

Задача 1: Имеется лом стали двух сортов содержанием никеля 5 % и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля 30%? Решение: 5% 40-30=10 30% 40% 30-5=25 Значит, отношение никеля в ломе составляет 10: 25 = 2:5 140 : 7 – 20, значит I сорта надо взять 20 х 2 = 40 т, II т. Ответ: 40 т, 100 т.

Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3, а другая – в отношении Задача 2: Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3, а другая – в отношении 3 : 7. По сколько ведер нужно взять из каждой бочки, чтобы получить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода находятся в отношении 3 : 5? 3 : 7. По сколько ведер нужно взять из каждой бочки, чтобы получить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода находятся в отношении 3 : 5?Решение: Отношение спирта к воде в первой бочке составляет 2 : 3, значит в I бочке 40% спирта, во II бочке – 30% спирта, а в смеси – 37,5 % спирта. Тогда 40% 37,5 – 30 = 7,5 37,5 30% 40 – 37,5 = 2,5 Значит, отношение спирта в бочках составит 3:1 12:4 = 3, значит из первой бочки надо взять 3 х 3 =9 ведер, из другой 3 ведра.

Задача 3: Смешали 30%-ый и 10% -ый растворы соляной кислоты. Получили 600 г 15%- го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? Решение: 30% 15 – 10 = 5 15% 10% 30 – 15 = 15 Значит, отношение растворов составляет 5 : 15 = 1 : 3. Всего частей = : 4 = 150 г приходится на 1 часть, следовательно, 30%-го раствора надо взять 150 г, а 10%-го г. Ответ: 150 г, 450 г.

Задачи такого типа можно решать по формуле m 1 n 1 + m 2 n 2 = n 3 (m 1 + m 2 ) где m - масса вещества, a n - процентное содержание его в смеси или сплаве.

Задача: смешали 300 гр 50% и 100 гр 30% раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси. Решение: 300· · 30 = х ( ) х = Ответ: 45 %

В задачах, где говорится об изменениях в одном и том же веществе, применяется формула m 1 n 1 = m 2 n 2, где m 1 и n 1 – это масса и процентное содержание вещества до изменения, а m 2 и n 2 – масса и процентное содержание вещества после изменения. Задача: Сколько воды следует добавить к 40 кг 5 % - го раствора соли в воде, чтобы получить 4 % - ный раствор. Решение: так как в данном растворе не меняется масса самой соли, то составим равенство m 1 n 1 = m 2 n 2 40 · 5 = (40 + х) · 4, х = 10 кг Ответ: 10 кг

Задача: Свежая малина содержит 85 % воды, а сухая – 20 %. Найдите массу сухой малины, если свежая была весом 36 кг. Решение: так как в данном растворе не меняется малинная масса, то составим равенство m 1 n 1 = m 2 n 2, где n 1 = 15 %, n 2 = 80 %. Тогда: 36 ·15 = х · 80, х = 6,75 кг Ответ: 6,75 кг

1. Влажность свежей скошенной травы составляет 85%. Сколько испарилось воды из 1 т травы, если ее влажность после сушки составила 75 % ? (400 кг) 2. Морская вода содержит 5 % соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 15 л морской воды, чтобы концентрация соли составила 1.5%? (35 л) 3. Кусок сплава меди и цинка массой 72 кг содержит 45% меди. Сколько меди следует добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди? (27 кг) 4. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляет 98%. После подсушивания их влажность составила 93%. Какова масса грибов после подсушивания? (40 кг)

Задача: 1. Цену на машину сначала снизили на 15%, а затем повысили 10%. Сколько процентов от первоначальной стоимости составляет теперь цена машины? 0,85 · 1,1 = 0, ,5% 2. Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену снизили на 25%. На сколько всего процентов снизили первоначальную цену? 0,8 · ¾ = 0,6 40% 3. Одну из диагоналей ромба увеличили на 40%, а другую уменьшили на 20%. На сколько процентов изменилась площадь ромба? 1,4 · 0,8 = 1,12 на 12%

Приемы решений некоторых задач.

при а = 0 А) а – 4 = - 4 В) а + 4 = 4 С) а – 3 = - 3 D) а = 1 Е) а = 5 0 : - 4 = 4 Способ подстановки

A) -1 B) 1 C) cos ( α – β ) D) cos ( α + β ) E) Пусть α = 60 0 β = 30 0, тогда = = 0 =

Решение тригонометрических уравнений и неравенств

Вершина параболы имеет координаты (6; - 9), тогда у min = - 9, наибольшее значение будет при х = 3 и у = 0. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решить уравнение = 5 Решение с конца

Если х - точка min или max, уравнение касательной имеет вид у = у Уравнение касательной

Применение «Пифагоровых троек»

Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45º. Вычислить объем пирамиды, если в ее основании лежит прямоугольник со сторонами 24 см 32 см ·8 4·8 5 · 8

Прогрессии S 19 = = 112

Н АЙТИ СУММУ ДВУХЗНАЧНЫХ ЧЕТНЫХ ЧИСЕЛ КРАТНЫХ 3 а 1 = 12, а n = 96, d = 6 n = S 15 = = 15 ·n = 810