КУТИ В ПРОСТОРІ. РОБОТА БІЛОЇ Н. С. Вчителя математики НВК м. Славути

КУТ МІЖ МИМОБІЖНИМИ ПРЯМИМИ

Кут між мимобіжними прямими Дві прямі, які перетинаються, утворюють суміжні і вертикальні кути. Вертикальні кути рівні, а суміжні кути доповнюють один одного до 180º. Кутова міра меншого з них називається кутом між прямими. Кут між перпендикулярними прямими дорівнює 90º за означенням. Кут між паралельними прямими дорівнює нулю. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим. Якщо кут між мимобіжними прямими становить 90º, то вони називаються перпендикулярними. а b а1а1 b1b1 φ

Задача 1 1. Прямі АА 1 і DC – мимобіжні Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Знайти: кут між прямими AA 1 і DC. 2. DD 1 || AA Кут D 1 DC = 90º – шуканий кут Розв'язання А А1А1 D D1D1 B B1B1 C C1C1

Задача для самостійного розв'язання 1 Який кут між прямими A 1 D і D 1 C? А А1А1 D D1D1 B B1B1 C C1C1

Задача для самостійного розв'язання 2 Який кут між прямими С 1 D і АА 1 ? А А1А1 D D1D1 B B1B1 C C1C1

КУТ МІЖ ПРЯМОЮ І ПЛОЩИНОЮ

Кут між прямою і площиною Кут між прямою і площиною, яка її перетинає, називається кут між цією прямою та її проекцією на площину. Для побудови проекції прямої а на площину α достатньо знайти дві точки проекції: наприклад, точку перетину прямої а і площини α та основу якого-небудь перпендикуляра, опущеного з другої точки прямої а на площину. а α А B О AO α, BO – проекція АВ на площину α Кут АВО – кут між прямою АВ і площиною α

Кут між паралельними прямою і площиною вважається рівним 0º а α Кут між перпендикулярними прямою і площиною дорівнює 90º α а

Задача 1 Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Знайти: кути нахилу прямих АD 1, B 1 C i BD 1 до площини ABC РОЗВ'ЯЗАННЯ А А1А1 D D1D1 B B1B1 C C1C1

Задача 2 Дано: SABC – піраміда. SA - висота Знайти: кути нахилу бічних ребер SB і SC до площини основи РОЗВ'ЯЗАННЯ А S B C

Задача для самостійного розвязання 1 ДАНО: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Знайти: кути нахилу прямих CD 1, A 1 C i AB 1 до площини A 1 B 1 C 1 А А1А1 D D1D1 B B1B1 C C1C1

Задача для самостійного розвязання 2 ДАНО: У піраміді SABC грані SAB і SAC перпендикулярні до площини основи ABC. Знайти: кути нахилу бічних ребер SB і SC до площини основи ABC А S B C

Задача для самостійного розвязання 2 ДАНО: SO - висота чотирикутної піраміди SABCD. Знайти: кути нахилу бічних ребер SA, SB, SC і SD до площини ABC. А S B C O D

Задача для самостійного розвязання 3 ДАНО: У чотирикутній піраміді SABCD бічне ребро SB перпендикулярне до площини основи. Знайти: кути нахилу бічних ребер SA, SC і SD до площини АВС. А B C D S

А B C D S Задача для самостійного розвязання 4 ДАНО: У чотирикутній піраміді SABCD грані SCB і SCD перпендикулярні до площини основи АВС Знайти: кути нахилу бічних ребер SA, SB, SC і SD до площини ABC.

А S B C O D Задача для самостійного розвязання 5 ДАНО: У чотирикутній піраміді SABCD бічні ребра однаково нахилені до площини основи АВС Знайти: кути нахилу бічних ребер SA, SB, SC і SD до площини ABC.

КУТ МІЖ ПЛОЩИНАМИ

Кут між площинами Кутом між площинами α і β, які перетинаються по прямій с, називається кут між прямими, по яких третя площина γ, яка перпендикулярна до лінії перетину, перетинає площини α і β. Кут між паралельними площинами дорівнює 0º. Кут між площинами лежить у межах від 0º до 90º. α β с a b φ γ

Перший спосіб побудови С α β φ а b 1. На прямій с перетину α і β вибираємо точку С. 2. Через С в площинах α і β проводимо прямі а і b, перпендикулярні до с. с 3. Кут між прямими а і b дорівнює куту між площинами

Другий спосіб побудови α β 1. Візьмемо точку А α; А с 2. Опустимо з неї перпендикуляри на пряму с і площину β: АВ с ; АА 1 β с 3. З єднаємо точки В і А 1 : А 1 В с за теоремою про три перпендикуляри А А1А1 В 4. Кут АВА 1 – це кут між площинами α і β згідно з означенням

Задача 1 А S B C О ДАНО: SO – висота правильної трикутної піраміди SABC. Побудувати кут між площинами SAB і ABC РОЗВЯЗАННЯ

Задача 2 А S B C О ДАНО: SO – висота трикутної піраміди SABC, у якої SA = BC. Побудувати кут між площинами SAB і ABC РОЗВЯЗАННЯ

Задача 3 А S B C О ДАНО: SO – висота трикутної піраміди SABC, у якої кут ABC = 90º. Побудувати кут між площинами SBC і ABC РОЗВЯЗАННЯ

Задача 4 А S B C О ДАНО: SO – висота правильної чотирикутної піраміди. Побудувати кут між площинами SCD і ABC РОЗВЯЗАННЯ D

Задача 5 А S B C ДАНО: SB – висота чотирикутної піраміди, в якої ABCD - прямокутник. Побудувати кут між площинами SАD і ABC РОЗВЯЗАННЯ D

Задача 6 А S B C ДАНО: SО – висота чотирикутної піраміди, в якої ABCD – прямокутна трапеція (кут ВАD = 90º). Побудувати кут між площинами SАD і ABC РОЗВЯЗАННЯ D O

Задача 7 А S BC ДАНО: У чотирикутній піраміді SABCD бічні грані SCD i SBC перпендикулярні до площини основи. ABCD – квадрат. Вказати кут між площинами SАB і ABC, SAD i ABC РОЗВЯЗАННЯ D

Задача для самостійного розвязання 1 А М B C ДАНО: Пряма МО перпендикулярна до площини АВС, ОD BC. Назвіть на цьому малюнку кути між площинами: 1)МОВ i МОD; 2)MBC i ABC D О

Задача для самостійного розвязання 2 ДАНО: АВСD - квадрат, пряма PD перпендикулярна до площини АBC. Назвіть на цьому малюнку кути між площинами: 1)PBC i ABC; 2)PCD i ABC; 3)PAD i PCD; 4)PAD i PBC А B C D P

Задача для самостійного розвязання 3 ДАНО: АВСD - квадрат, пряма MO перпендикулярна до площини АBC, BP MC. Назвіть на цьому малюнку кути між площинами: 1)PBD i BCD; 2)MBC i MCD. А B D M C P O

Задача для самостійного розвязання 4 А B C ДАНО: Як у кубі знайти кут між площинами ABCD i A 1 D 1 CB? D А1А1 B1B1 C1C1 D1D1