Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач Применение теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач. Сравнительный анализ в эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач. Выполнил: Димитров Денис, ученик 11 «А» класса. Научный руководитель: Шабунина Е.И., учитель математики МОУ «Лицей 3». МОУ «Лицей 3» г. Саров, 2010 год. г. Саров, 2010 год.

Цель работы – изучить теоремы Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению планиметрических задач. Задачей работы стало сравнение и выявление эффективности применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения планиметрических задач. Постановка цели, формулировка задачи. 2

Исторические справки. Джованни Чева Менелай Александрийский 3

Теорема Чевы. Если через вершины ABC проведены прямые AX, BY, CZ, пересекающие противоположные стороны (или их продолжения) в точках X, Y, Z, то для того чтобы эти прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: 4

Теорема Чевы (первый случай). BAC Z X Y P Рис. 1 5

Теорема Чевы (второй случай). PBX C A Y Z H1H1H1H1 H h1h1h1h1 h Рис. 2 6

Теорема Чевы (доказательство 2). α A Z Y β γ y x m a vB C X P n u z b t c d Рис. 3 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 4 ABC XP Y Z α β 7

Теорема Чевы (обратная). ACBX Z T Y P Рис. 5 Рис. 5 8

Теорема Менелая. Если на сторонах ABC или на их продолжениях отмечены точки X, Y, Z так, что X лежит на AB, Y – на BС, Z – на CA, то эти точки будут лежать на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено условие: 9

Теорема Менелая (первый случай). A a b C K ZBY c d e m n X Рис. 6 Рис. 6 10

Теорема Менелая (второй случай). ABC XYZK Рис. 7 Рис. 7 11

Теорема Менелая (доказательство 2). ABC Z X Y l h1h1h1h1 h2h2h2h2 h3h3h3h3 n m d c a b Рис. 8 Рис. 8 l X YZ ABC h1h1h1h1 h2h2h2h2 h3h3h3h3 Рис. 9 Рис. 9 12

Теорема Менелая (обратная). X ABCZ T Y Рис. 10 Рис

Задача 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 14

Задача 1. I способ (без использования теорем Чевы и Менелая). ACB B1B1B1B1 A1A1A1A1 C1C1C1C1 O (O 1 ) Рис

Задача 1. II способ (c использованием теорем Чевы и Менелая). ACB B1B1B1B1 A1A1A1A1 C1C1C1C1 O Рис

Задача 2. В ABC на стороне BC взята точка N так, что NC=3BN. На продолжении стороны AC за точку A взята точка M так, что MA=AC. Прямая MN пересекает сторону AB в точке F. Найти отношение BF:FA. 17

Задача 2. I способ (без использования теоремы Менелая). AMC NBF K bb k 3k Рис

Задача 2. II способ (c использованием теоремы Менелая). AMC NBF bb k 3k Рис. 14 Рис

Задача 3. Пусть AD – медиана ABC. На медиане AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. Прямая BK разбивает ABC на два треугольника: ABP и CBP, причём BKAC=P. Найти отношение S ABP :S CBP. 20

Задача 3. I способ (без использования теоремы Менелая). APC DM K B m 3m a a Рис. 15 Рис

Задача 3. II способ (c использованием теоремы Менелая). APC D K B m 3m a a Рис. 16 Рис

Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7 –9 классов. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач. Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7 –9 классов. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач. Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными. Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными. Я считаю, что теоремы Чевы и Менелая должны быть включены в основной курс геометрии 7 –9 классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников. Я считаю, что теоремы Чевы и Менелая должны быть включены в основной курс геометрии 7 –9 классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников. Заключение. 23