Иррациональные уравнения лекция 1. Автор : Чипышева Людмила Викторовна, учитель математики МОУ Гимназии 80 г. Челябинска

Теоретический материал Определение : иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня ( радикала ). Областью допустимых значений переменных ( ОДЗ ) уравнения называется множество значений неизвестного, при которых имеет смысл ( то есть определены ) его левая и правая части. Число х из ОДЗ уравнения называется его решением, если при подстановке его вместо неизвестного уравнение превращается в верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Теоретический материал Если все корни одного уравнения являются корнями другого уравнения, то второе уравнение называется следствием первого. Два уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Если оба уравнения не имеют решений на данном числовом множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве. Арифметическим корнем k- й степени из числа а 0 называется неотрицательное число b (b0), k- я степень которого равна а, k>1, k N.

Теоретический материал Если k – число нечётное, то справедливо равенство : Для любого х справедливо : При решении иррациональных уравнений используются два основных метода : 1) Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень ; 2) Введение новых ( вспомогательных ) переменных. Однако иногда приходится применять и искусственные приёмы при решении иррациональных уравнений.

Теоретический материал При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду следующее : 1) Если k – число нечётное, то уравнения f(x)=g(x) и равносильны ; 2) Если k – число чётное, то уравнение является следствием уравнения f(x)=g(x), т. е. при переходе от уравнения f(x)=g(x) к уравнению могут ( помните об этом ) появиться посторонние корни. Вот почему при решении иррациональных уравнений необходима проверка найденных решений ( корней ), даже тех, которые вошли в ОДЗ, при условии, если было выполнено возведение в чётную степень обеих частей уравнения.

Простейшие иррациональные уравнения : 1) Решить устно :

Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 1.

Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 1.

Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 2. Обратите внимание, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, тем не менее, один корень посторонний !!!!

Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 3.

Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 4.

Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 5.

Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 5.

Методы решения иррациональных уравнений Возведение в степень, равную показателю корня. Пример 6.

Методы решения иррациональных уравнений Введение новых ( вспомогательных ) переменных. Пример 7.

Пустьзначит Сделаем обратную замену : возведем обе части уравнения в четвертую степень Проверка : x = 2. Ответ : 2. Решить уравнение : Решение : x = 2, 6 = 6 Методы решения иррациональных уравнений Введение новых ( вспомогательных ) переменных. Пример 8.

Источники : А. Н. Колмогоров « Алгебра и начала анализа : учебник для классов общеобразовательных учреждений ». В. С. Крамор, К. Н. Лунгу, А. К. Лунгу. « Математика : Типовые примеры на вступительных экзаменах. Пособие для старшеклассников и абитуриентов ».