Скалярное произведение векторов.

Задача 1. Дано: АВСD – параллелограмм Найти: а) векторы, коллинеарные вектору ОС; б) векторы, сонаправленные вектору АВ; в) векторы, противоположно направленные вектору ВС; г) векторы, равные вектору ВО; д) ВD, если АВ = 4, ВС = 5, ВАD = 60 0 ; А С В D О е), если АВ = 4, ВС = 5, АС = 6.

a b ab = Угол между векторами и равен. abО Угол между векторами

a d b 30 0 ab = c f ac = bc = df = dc = Найдите угол между векторами

Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. ab = a b cos( ) ab Определение

Пример: ab = a b cos( ) ab

a b ab= ab cos 90 0 = 0 ab = 0= 0= 0= 0 ab Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. ab = 90 0 Частный случай 1 = 0

a b острый. Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый.ab= a bcos > 0 ab > 0> 0> 0> 0 ab < 90 0 ab Частный случай 2

a b тупой. Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой.ab= a bcos < 0 ab < 0< 0< 0< 0 ab > 90 0 ab Частный случай 3

ab = ab= a b cos 0 0 a b11 ab = 00= 00= 00= 00 ab= a b cos180 0 a b ab = = – ab Частный случай 4

aa= a acosa aa = 00= 00= 00= 00 aa= =a Скалярное произведение называется скалярным квадратом скалярным квадратом вектора и обозначаетсяaaaa Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a=a Частный случай

Примечание: В термине «скалярное произведение» первое слово указывает на то, что результат действия есть скаляр, т.е. действительное число. Второе слово подчеркивает, что для этого действия имеют силу основные свойства обычного умножения.

Свойства умножения: - переместительное свойство - сочетательное свойство - распределительное свойство

Применение скалярного произведения в физике Работа А постоянной силы F при перемещении тела из точки М в точку N, равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними. Т.е. работа силы F равна скалярному произведению векторов силы и перемещения

Самое главное Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда когда эти векторы перпендикулярны Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом вектора Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.