Г.В.Закусилова, учитель математики МБОУ СОШ 7 п.Малокубанский Новопокровского района учебный год

Изучить старинный способ решения задач на славы и смеси и обосновать его.

В школьном курсе математики весьма значимое место занимают текстовые задачи, которые по-прежнему вызывают большие сложности у учащихся. Одними из самых сложных задач остаются задачи на проценты, при этом затруднения вызывают даже самые простые задачи на нахождение процента от числа или числа по его проценту. А уж задачи на смешивание растворов и удаление части раствора, не уступают лидерство по сложности никаким другим задачам.

при составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого– нибудь одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются и т.д.)

Старинная схема решения подобных задач: Процентное содержание вещества А во втором растворе Процентное содержание вещества А в первом растворе р% q% k% q - k k - p m n Процентное содержание вещества А, которое необходимо получить в новом растворе Масса необходимого количества первого раствора Масса необходимого количества второго раствора

При смешивании 5%-ного раствора кислоты,с 40 %-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято? 5%40%30% 140 г ? г

5% 40% 30% 10 25

На 10 частей 5% -го раствора необходимо взять 25 частей 40%-го раствора. Значит, чтобы получить 140 г 30%-го раствора, нужно смешать 40 г первого (5%-го) и 100 г второго (40%-го) раствора.

ЗАДАЧА. Имеется два раствора: первый с процентным содержанием вещества А, равным р%, и второй с процентным содержанием этого вещества, равным q%. В каком соотношении нужно взять данные раствор с процентным содержанием указанного вещества, равным k%? p % q % k % q - k k - p m n

Будем считать р

Обоснование старинного способа решения задач на сплавы и смеси 5% 40% 30% 10 25

Исследуем процесс смешивания Однако не совсем понятно, почему задача решается именно так. Для того, чтобы ученики пользовались этой схемой сознательно, начнем решение с исследования процесса изменения концентрации. Возьмём по 100г каждого раствора и в соответствии с процентным составом разделим их содержимое на кислоту и воду:

Сравним исходные составы с тем, что должно получиться после смешивания. В результате сравнивания приходим к выводу, что необходимо 25 г воды в первом растворе заменить кислотой, а 10г кислоты во втором – водой

Так как мы можем оперировать растворами только с данными составами, напрашивается мысль об обмене 10г кислоты из второго раствора на воду из первого вода кислота

Результат взаимообмена Получили необходимый состав для 100г второго раствора. Но в первом осталось ещё 15 г воды. Которую нужно заменить кислотой. Где её взять? Возникает следующая идея: нужно взять ещё 100г второго раствора, а затем 50г и выполнить те же действия. Окончательный результат выглядит так:

Таким образом, следует, что на каждые 100г первого раствора необходимо взять 250г второго, т.е. в отношении 10:25, обратном соотношению между недостатком и избытком кислот в исходных растворах г 50г

После рассмотрения принципа взаимообмена весь процесс можно представить в виде схемы, предложенной О.Д. Соломатиным недостаток избыток

Задача 2 Морская вода содержит 8% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%? Х 30 5х=90 х=18

Задача3 Сплав олова с медью весом в 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди? х=12 Х=1, х