ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ ПИРАМИДЫ Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

ПИРАМИДА Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника-основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,-вершины пирамиды и всех отрезков,соединяющих вершину пирамиды с точками основания. S пол = S бок + S осн V = S осн * h / 3 Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник. S бок = P * l /2

Усеченная пирамида Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Теорема : Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

Развёртка пирамиды. Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью ( без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга ). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью.

Задача 1. Найдите высоту треугольной пирамиды, если все ее боковые ребра по 40 см, а стороны основания равны 10 см, 10 см и 12 см. Решение. Пусть ABCS- треугольная пирамида, равнобедренный треугольник ABC- является основанием( AB=AC=10 см). Около основания пирамиды можно описать окружность, и высота, опущенная из вершины основания, будет падать в центр описанной около основания окружности. P=( )/2=16 см S=16 1/2 *6 1/2 *6 1/2 *4 1/2 =4*6*2=48см 2 R=10*10*12/4*48=6,25 см Рассмотрим треугольник ASO. AO=R По т. Пифагора SO 2 =AS 2 -AO 2 SO= (40-625/16) 1/2 = 15 1/2 /4 см Ответ: 15 1/2 /4 см.

Задача 2. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если диагональное сечение пирамиды-прямоугольный треугольник, площадь которого равна 32см 2. Решение. Рассмотрим треугольник ASC. S=ab/2 S=32см 2 Пусть треугольник ASC равнобедренный (AS=CS так как пирамида правильная) x 2 /2= 32 x=8 AS=SC=8см По т. Пифагора AC 2 =AS 2 +SC 2 AC=(64+64) 1/2 =82см AC-диагональ Следовательно сторона AB=BC=CD=AD=8 см Рассмотрим треугольник SCL SL-является высотой медианой треугольника BSC, BL=LC=4см По т.Пифагора SC 2 =SL 2 +LC 2 S бок =P*L/2 SL=(64-16) 1/2 =43см S бок =32*43/2=643 см 2 Ответ:643 см 2

Задача 3. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 см и 6 см. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный 45 градусов. A D C B A1A1 C1C1 B1B1 D1D1 45 O1O1 O 6см 4см Решение. В основании ABCD сторона равна 6см. Следовательно диагональ AC=62 см Аналогично можно доказать, что A 1 C 1 =42 см. Сделаем выносной чертеж диагонального сечения трапеции AA 1 C 1 C. Проведем высоту A 1 M, она параллельна O 1 O A 1 O=MO=22 см ( O,O 1 - середины) AO=32 см (AO=OC) Значит AM=2 см Рассмотрим треугольник AA 1 M, он является равнобедренным, так как угол A 1 AM=45 градусов. Следовательно AM=A 1 M=2 см S тр =h(a+b)/2 S тр =2(42+62)/2=10см 2 Ответ:10 см 2 A C A1A1 C1C1 O1O1 M O см 62 см

Работа выполнена Ученицей 11 класса «А» Овсепян Дианой Спасибо за внимание!!! Аплодисменты!